核心概念
本文探討了除環中極大子環的結構和存在性,並證明了如果除環中存在一個非中心元素,且該元素在其中心上的代數式存在,則該除環具有極大子環。
摘要
概述
本文研究了除環中極大子環的結構與存在性,並探討了特定極大子環的性質,例如其與賦值環的關係。
極大子環的結構
- 如果 R 是除環 D 的極大子環,且 D 的中心為 F,則 R 滿足以下條件之一:
- R 是除環,且 D 作為 R 的左右向量空間的維度有限且相等。
- R 是 Ore G-域,其商環為 D。
- R 的正規化子 N(R) 等於其單位群 U(R) 與 {0} 的並集。
- 如果 R 不包含 F,則 R 與 F 的交集為 R 在 D 中的中心化子的子集,且該交集是 F 的極大子環。
極大子環的存在性
- 如果除環 D 中存在一個非中心元素,且該元素在其中心上的代數式存在,則 D 具有極大子環。
- 如果 D 是非交換除環,且其中心為 F,則 D 要么具有極大子環,要么其在 F 上的向量空間維度不小於 F 的基數。
特定極大子環的性質
- 如果除環 D 的極大子環 R 是左雙邊環,則 R 要么是除環,要么是只有一個非零素理想的 Ore G-域。此外,R 是 D 的賦值環,且對於 D 中的每個非零元素 d,dRd-1 等於 R。
- 如果 R 是除環 D 的極大子環,且 β ∈ R 滿足 βR = Rβ ≠ R,則 Rβn 的交集為 {0},且 R 是有界環。
- 如果除環 D 的極大子環 R 不是除環,則 R 是 D 的阿貝爾賦值環,當且僅當 D 的交換子子群包含於 R 中。
極大子環在存在完備除環中的存在性
- 如果 D 是域 K 上的存在完備除環,則 D 具有形式為 CD(x) 的極大子環,其中 D 在該子環上的維度有限。