頂點算子代數上的等價關係，第二部分：維特等價與軌形

核心概念

本文探討了強理性頂點算子代數或 1+1 維理性共形場論 (RCFT) 何時可以通過拓撲操作進行關聯，並引入維特等價作為判斷依據，並探討其與軌形等價的關係。

摘要

本文探討了強理性頂點算子代數或 1+1 維理性共形場論 (RCFT) 何時可以通過拓撲操作進行關聯。對於頂點算子代數，術語「拓撲操作」指的是傳遞到共形擴展或限制到共形子代數等操作；對於 RCFT，拓撲操作包括對廣義全局對稱性的一部分進行測量（或軌形化）或通過有限量子維數的拓撲線界面插值到新理論等操作。
受偶數格理論和張量範疇理論的啟發，我們認為如果兩個強理性頂點算子代數的中心荷相同，並且它們的表示範疇作為模張量範疇是維特等價的，則它們是維特等價的。如果兩個 RCFT 的中心荷相同，並且它們相關的 2+1 維拓撲場論可以用拓撲表面分隔，則稱它們是維特等價的。我們認為維特等價是兩個理論通過拓撲操作相關聯的必要條件。我們推測它也是充分的，並在各種特殊情況下給出了證明。
我們將這一系列想法與 RCFT 的分類問題以及有關量子場論變形類的知識聯繫起來。我們使用維特等價的概念來論證，假設酉、c = 1 RCFT 的推測分類，SU(2)1 Wess–Zumino–Witten 模型的所有有限全局對稱性都是可逆的。
最後，我們為手性 CFT 勾勒了一個「量子伽羅瓦理論」，它通過結合不可逆對稱性來概括先前的數學文獻；我們在怪獸 CFT 的背景下說明了這種不可逆伽羅瓦理論，我們為其產生了斐波那契對稱性。

1. 緒論
1.1. 致數學家
頂點算子代數及其表示範疇為物理學中二維共形場論的手性代數和融合環提供了公理化。雖然最初是為了解決怪獸月光猜想而引入的 [Bor86, FLM88, Bor92]，但到目前為止，頂點算子代數在數學中無處不在，並出現在例如代數幾何、群論、李理論和自守形式理論的背景下。
（強理性）頂點算子代數的結構理論與整數上的偶數格理論有許多相似之處。這在考慮中心荷不太大的分類問題時尤其明顯，如例如 [MS23, MR23, Ray24, HM23] 中所研究的那樣。對於較大的中心荷，完整的分類是不現實的。然而，人們可以詢問如何在比同構更粗糙的等價關係下將頂點算子代數組織成等價類。在一系列兩篇論文中，第一部分是 [MR24]，我們的目標是解決這個問題。
雖然在 [MR24] 中我們研究了格虧格的頂點算子代數類似物 [Höh03, Mor21]，但在這項工作中，我們將（強理性）頂點算子代數的更粗糙的概念（見圖 6）（維特和理性等價）推廣（另見 [Höh03, SY24]）。
1.2. 致物理學家
兩個量子場論 (QFT) 何時通過拓撲操作相關聯？在這項工作中，對 QFT T 執行「拓撲操作」指的是對 T 的廣義全局對稱性的有限子部分進行測量，或（相關地）在 T 和另一個 QFT 之間構造有限量子維數的拓撲界面等操作。
2. 初步
在本節中，我們回顧一些關於格、模張量範疇、頂點算子代數及其與物理學概念的關係的背景材料。我們還將假設 [MR24，第 2 節] 中涵蓋的大部分內容。
2.1. 格和度量群
2.2. 範疇

從以下內容提煉的關鍵洞見

Equivalence Relations on Vertex Operator Algebras, II: Witt Equivalence and Orbifolds

by Sven... 於 arxiv.org 10-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.18166.pdf

深入探究

維特等價和軌形等價的概念如何推廣到非理性共形場論？

將維特等價和軌形等價的概念推廣到非理性共形場論 (non-rational conformal field theory, CFT) 是一個極具挑戰性的問題。主要原因在於，非理性 CFT 的表示理論通常比理性 CFT 複雜得多，可能涉及無限多個不可約表示，且融合規則可能無法明確定義。
然而，我們可以嘗試從理性 CFT 的推廣中獲得一些啟發：
維特等價：

模張量範疇： 理性 CFT 的表示範疇是模張量範疇，而維特等價正是基於模張量範疇的等價關係。對於非理性 CFT，其表示範疇可能不再是模張量範疇，但我們可以探索其他類型的範疇等價關係，例如弱模張量範疇 (weakly modular tensor category) 或融合範疇 (fusion category) 的維特等價。
拓撲缺陷： 維特等價與拓撲缺陷的存在性密切相關。在非理性 CFT 中，我們可以研究拓撲缺陷的性質，並嘗試建立與某種形式的維特等價之間的聯繫。
軌形等價：

廣義 orbifold： 軌形等價的概念源於 orbifold 構造，即通過對稱性群作用來構造新的 CFT。對於非理性 CFT，我們可以考慮更廣義的 orbifold 構造，例如通過無窮維李代數或量子群作用來構造新的理論。
共形嵌入： 軌形等價也可以通過共形嵌入 (conformal embedding) 來理解，即將一個 CFT 作為另一個 CFT 的子代數。在非理性 CFT 中，我們可以研究共形嵌入的性質，並嘗試建立與某種形式的軌形等價之間的聯繫。
需要注意的是，這些推廣都還處於探索階段，目前還沒有形成完整的理論框架。

如何利用維特等價來研究量子場論的變形類？

維特等價為研究量子場論 (QFT) 的變形類提供了一個強大的工具。

不變量： 維特等價類對應於一組不變量，例如中心荷 (central charge) 和維特類 (Witt class)。這些不變量在拓撲操作下保持不變，因此可以用於區分不同的變形類。
拓撲操作： 維特等價為理解不同 QFT 之間的關係提供了一個框架。如果兩個 QFT 維特等價，則它們可能通過拓撲操作（例如 orbifold 或 gauging）相關聯。
分類問題： 維特等價可以用於簡化 QFT 的分類問題。通過將 QFT 分成不同的維特等價類，我們可以將分類問題分解成更小的子問題。
具體而言，我們可以通過以下步驟利用維特等價來研究 QFT 的變形類：

計算不變量： 首先，我們需要計算相關 QFT 的維特等價不變量，例如中心荷和維特類。
比較不變量： 然後，我們可以比較不同 QFT 的不變量。如果它們的不變量不同，則它們屬於不同的維特等價類，因此不能通過拓撲操作相關聯。
探索拓撲操作： 如果兩個 QFT 具有相同的維特等價不變量，則我們可以進一步探索它們之間是否存在拓撲操作。

通過這個過程，我們可以利用維特等價來有效地研究 QFT 的變形類。

量子伽羅瓦理論如何應用於其他類型的共形場論？

量子伽羅瓦理論 (quantum Galois theory) 在研究共形場論 (CFT) 的對稱性和對偶性方面具有潛在的應用價值。

非可逆對稱性： 量子伽羅瓦理論可以處理非可逆對稱性 (non-invertible symmetry)，這在傳統的伽羅瓦理論中是無法實現的。這一點對於研究具有非平凡融合規則的 CFT 特別重要，例如某些非阿貝爾 CFT。
對偶性： 量子伽羅瓦理論可以幫助我們理解不同 CFT 之間的對偶性。例如，它可以揭示兩個看似不同的 CFT 實際上是通過某種對偶性相關聯的。
拓撲缺陷： 量子伽羅瓦理論可以應用於研究 CFT 中的拓撲缺陷。例如，它可以幫助我們分類拓撲缺陷，並理解它們的性質。
以下是一些量子伽羅瓦理論在其他類型 CFT 中的具體應用：

WZW 模型： 量子伽羅瓦理論可以用於研究 Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型的對稱性和對偶性。
邊界 CFT： 量子伽羅瓦理論可以應用於研究邊界 CFT (boundary CFT) 的邊界條件和邊界算子。
高維 CFT： 量子伽羅瓦理論的思想可以推廣到高維 CFT，例如六維 (2,0) 超共形場論。
總之，量子伽羅瓦理論為研究 CFT 的對稱性和對偶性提供了一個新的視角，並具有廣泛的應用前景。