核心概念
本文提出了一種新的方法來測量黎曼流形中兩個隨機變量之間的隨機依賴關係,稱為黎曼協方差,並證明了其估計量的強一致性。
摘要
論文資訊
標題:黎曼流形數據的黎曼協方差
作者:Meshal Abuqrais1 and Davide Pigoli2
機構:1,2King’s College London
研究目標
- 本文旨在解決將雙變量依賴性度量擴展到非歐幾里德空間的挑戰。
- 目標是提出一種新方法來測量在黎曼流形中取值的兩個隨機變量之間的隨機依賴關係。
方法
- 本文引入了廣義局部協方差和相關性度量,稱為黎曼協方差和黎曼相關性。
- 黎曼協方差定義為兩個隨機變量在切空間中的投影的協方差矩陣的跡。
- 黎曼相關性是根據黎曼協方差推導出來的,類似於經典的皮爾遜相關性。
- 本文提出了這些度量的估計量,並證明了強一致性結果。
主要發現
- 黎曼相關性是皮爾遜相關性的自然擴展,並保持在 -1 到 1 之間。
- 在某些關於分佈支持的假設下,黎曼協方差和黎曼相關性的估計量是強一致的。
- 模擬研究表明,黎曼相關性在有限樣本情況下表現良好,並且在兩個樣本獨立的情況下按預期表現。
主要結論
- 黎曼協方差和黎曼相關性為測量黎曼流形中隨機變量之間的依賴關係提供了一種新的方法。
- 這些度量具有明確的幾何解釋,並且與 Fréchet 動差的概念相容。
- 強一致性結果確保了估計量在樣本量增加時的可靠性。
意義
- 這項研究通過提供一種測量非歐幾里德數據依賴性的方法,為黎曼流形數據的統計分析做出了貢獻。
- 這些發現與 Fréchet 動差的聯繫為分析流形值數據提供了一個統一的框架。
局限性和未來研究
- 未來研究的一個方向是探索黎曼協方差和黎曼相關性在高維流形上的性質。
- 另一個方向是研究這些度量在特定統計模型中的應用,例如迴歸和主成分分析。
引述
"The extension of bivariate measures of dependence to non-Euclidean spaces is a challenging problem."
"This is crucial for example to extend existing methodology to non independent sample, e.g. in the case of time series of manifold-valued data."
"The aim of this work is to introduce a novel measure of dependence, the Riemannian covariance, which offers a clear geometric interpretation and applies to a broad class of manifolds."