核心概念
本文提出了一種基於龐加萊群對稱性的場論方法,通過將場方程式視為卡西米爾特徵值問題,推導出描述具有任意自旋的自由質量粒子的運動方程式,包括克萊因-戈登方程式、狄拉克方程式和描述大質量向量場的方程式。
本文提出了一種基於對稱性原理的場論方法,特別是針對龐加萊群,用以描述具有質量的粒子。不同於傳統從特定場方程式(如麥克斯韋或狄拉克方程式)出發的方式,本文採用溫伯格的觀點,將粒子視為龐加萊群的不可約表示。
本文的核心概念是將場方程式視為卡西米爾特徵值問題。由於卡西米爾不變量與所有群元素交換,它們具有共同的特徵值(對於龐加萊群,即質量和自旋)和共同的特徵態(此處為龐加萊群的不可約表示)。
具體步驟如下:
利用導數作為動量算符的標準表示,並藉助遞迴關係引入任意自旋算符的表示。
將微分方程式轉換為代數方程式,以求解卡西米爾算符的特徵值問題。
針對任意場,構造投影算符以投影到特定自旋的不可約表示,這些表示扮演運動方程式的角色。