p進幾何pro-étale上同調的對偶性 I：Fargues-Fontaine化身

核心概念

本文證明了p進域上光滑部分proper rigid解析簇的p進幾何pro-étale上同調可以由Fargues-Fontaine曲線上的固態擬凝聚層表示，並且這些層滿足Poincaré對偶性。

摘要

本文探討了p進域上光滑部分proper rigid解析簇的p進幾何pro-étale上同調的對偶性問題。作者證明了這些上同調可以由Fargues-Fontaine曲線上的固態擬凝聚層表示，並證明了這些層滿足Poincaré對偶性。
主要內容

引言: 文章首先回顧了先前關於dagger曲線的算術p進pro-étale上同調的Poincaré對偶性的結果，並指出對於任意維度的部分proper rigid解析簇，這種對偶性也應該存在。然而，一維開單位圓盤的例子表明，這種對偶性不能是簡單的對偶性（除非是proper簇的情況）。
Fargues-Fontaine曲線上的擬凝聚層: 文章回顧了Fargues-Fontaine曲線的基本知識，以及其上的擬凝聚層的定義和性質。作者特別關注了固態擬凝聚層的概念，並解釋了如何將它們視為YFF上的ϕ模。
Fargues-Fontaine曲線上的Syntomic復形: 文章定義了Fargues-Fontaine曲線上的Syntomic上同調層，並解釋了它們與Hyodo-Kato上同調和de Rham上同調的關係。
Fargues-Fontaine曲線上的pro-étale復形: 文章定義了Fargues-Fontaine曲線上的pro-étale上同調層，並通過比較定理將它們與Syntomic上同調層聯繫起來。
Fargues-Fontaine曲線上的Poincaré對偶性: 文章證明了Syntomic上同調層滿足Poincaré對偶性，並利用比較定理將其推廣到pro-étale上同調層。

主要結果

定理 1.2 (pro-étale層的Poincaré對偶性): 對於p進域K上的光滑部分proper rigid解析簇X，存在自然的、Galois等變的擬同構：
Epro´et(XC, Qp) ∼→ RHomQCoh(XFF,C♭)(Epro´et,c(XC, Qp(d))[2d], O).

其中，Epro´et(XC, Qp) 和 Epro´et,c(XC, Qp(d)) 分別表示 X 的幾何 pro-étale 上同調層和帶有緊支撐的幾何 pro-étale 上同調層。

定理 1.4 (Künneth公式): 對於p進域K上的兩個光滑部分proper rigid解析簇X和Y，典範映射：
κ: Epro´et(XC, Qp) ⊗L O Epro´et(YC, Qp) → Epro´et((X ×K Y)C, Qp)

是QCoh(XFF,C♭)中的擬同構。
文章貢獻
本文的主要貢獻在於證明了p進域上光滑部分proper rigid解析簇的p進幾何pro-étale上同調層滿足Poincaré對偶性。這一結果是p進霍奇理論的重要進展，為進一步研究p進簇的幾何和算術性質提供了新的工具。

統計資料

從以下內容提煉的關鍵洞見

Duality for $p$-adic geometric pro-\'etale cohomology I: a Fargues-Fontaine avatar

by Pier... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12163.pdf

深入探究

本文的结果能否推广到更一般的非光滑簇？

本文的结果集中在光滑偏恰当的刚性解析簇上。对于更一般的非光滑簇，情况会变得更加复杂。主要挑战在于：

非光滑簇的Hodge-de Rham谱序列不再退化: 这意味着我们无法像光滑情况那样简单地将syntomic上同调分解为Hyodo-Kato上同调和de Rham上同调的组合。
缺乏合适的对偶性理论: 对于一般的非光滑簇，我们目前还没有一个完善的p进上同调理论，更不用说对偶性理论了。
然而，有一些可能的推广方向：

半稳态簇: 对于具有半稳态模型的簇，我们可以尝试使用logarithmic syntomic上同调来建立类似的对偶性。
相交上同调: 可以尝试使用相交上同调来定义非光滑簇的syntomic上同调，并研究其对偶性。
总而言之，将本文的结果推广到非光滑簇是一个非常有意义但也很有挑战性的问题，需要进一步的研究。

如何将本文的Poincaré对偶性应用于具体的p进簇，例如Shimura簇？

将本文的Poincaré对偶性应用于具体的p进簇，例如Shimura簇，是一个非常有趣且具有挑战性的问题。以下是一些可能的思路：

Shimura簇的积分模型: 许多Shimura簇都具有良好的积分模型，例如由Cherednik, Drinfeld等构造的模型。我们可以尝试利用这些积分模型来计算Shimura簇的syntomic上同调，并验证本文的Poincaré对偶性是否成立。
Hecke算子: Shimura簇的syntomic上同调带有Hecke算子的作用。Poincaré对偶性应该可以给出Hecke算子在syntomic上同调上的对偶性。这对于研究Shimura簇的算术性质具有重要意义。
p进L函数: Shimura簇的syntomic上同调可以用来构造p进L函数。Poincaré对偶性可能可以给出p进L函数的函数方程。
总而言之，将本文的结果应用于Shimura簇是一个非常活跃的研究领域，可以预期会有很多重要的进展。

本文的研究对于理解p进Langlands纲领有何启示？

本文的研究对于理解p进Langlands纲领具有以下几方面的启示：

几何化: 本文将p进上同调的对象（pro-étale上同调）与Fargues-Fontaine曲线上的凝聚层联系起来，提供了一种几何化的视角。这与p进Langlands纲领中将p进表示与几何对象（例如Fargues-Fontaine曲线上的向量丛）联系起来的思想相吻合。
对偶性: Poincaré对偶性是Langlands纲领中的一个重要主题。本文建立的pro-étale上同调的Poincaré对偶性，可以看作是p进Langlands纲领中对偶性理论的一个具体例子。
推广: 本文的结果主要针对光滑簇，而p进Langlands纲领需要考虑更一般的p进群的表示。将本文的结果推广到更一般的p进群表示，将有助于我们更深入地理解p进Langlands纲领。
总而言之，本文的研究为理解p进Langlands纲领提供了一个新的视角和工具，并为未来的研究指明了方向。