Cunningham, C., & Steele, J. (2024). p 進群廣義 Steinberg 表示的 Koszul 對偶性 [預印本]。表示論。 https://arxiv.org/abs/2408.05103v2
本文旨在探討與 p 進群 G(F) 的廣義 Steinberg 表示相關的兩個範疇之間的關係,其中 G 是一個定義在 p 進域 F 上的分裂半單群。具體來說,作者旨在證明 G(F) 的廣義 Steinberg 表示的擴張代數的模範疇等價於這些表示的 Langlands 參數簇上的等變 perverse 層的特定子範疇。
作者採用表示論和代數幾何的工具,特別是 perverse 層理論和 Vogan 對局部 Langlands 猜想的闡釋,來建立和證明他們的結果。他們利用廣義 Steinberg 表示的性質、Aubert-Zelevinsky 對偶性和 Langlands 參數的幾何來分析相關範疇的結構。
本文的主要結果是證明了 G(F) 的廣義 Steinberg 表示的擴張代數的模範疇等價於這些表示的 Langlands 參數簇上的等變 perverse 層的特定子範疇。此等價關係可視為 Soergel 猜想的 Koszul 對偶,該猜想將與特定無窮小特徵相關的 G(F) 的子範疇與相應 Vogan 簇上出現的簡單等變 perverse 層的擴張代數聯繫起來。
作者得出結論,他們關於廣義 Steinberg 表示的結果為理解與任意無窮小參數 λ 相關的等變 perverse 層範疇的內部結構提供了基礎。他們推測,這種理解將增進對通過局部 Langlands 猜想的範疇解釋對應於 Arthur 類型表示的等變相交上同調複形的幾何性質的理解。
本文對局部 Langlands 猜想的研究做出了貢獻,特別是對通過 perverse 層的幾何構造來理解表示的 Vogan 方法。廣義 Steinberg 表示的擴張代數和 Langlands 參數簇上的等變 perverse 層之間建立的等價關係,為進一步研究這些表示的表示論和幾何性質開闢了途徑。
本文側重於廣義 Steinberg 表示的特定情況。作者建議探索將其結果推廣到更一般的表示類別,並研究此類推廣對理解 Arthur 類型表示的含義。此外,研究此等價關係與 Soergel 猜想之間的精確關係將是一個有趣的研究方向。
翻譯成其他語言
從原文內容
arxiv.org
深入探究