核心概念
本文修正了普雷格關於有限群正規覆蓋定理的證明,該定理闡述了當群具有有限 A-子群長度時,諾伊曼-普雷格猜想成立。
摘要
克羅內克類、正規覆蓋與群的子群
摘要
本文修正了普雷格於 1994 年提出的關於有限群正規覆蓋定理的證明。該定理旨在證明諾伊曼-普雷格猜想在群具有有限 A-子群長度時的正確性。諾伊曼-普雷格猜想推測存在一個整數函數 f,使得對於任何有限群 G 和其子群 U,如果 U 的共軛子群可以覆蓋 G,則 G 對 U 的指標不超過 f(n),其中 n 為 G 的自同構群 A 對內自同構群的指標。普雷格最初的證明存在錯誤,本文使用不同的論證方法給出了該定理的正確證明。
主要內容
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引言:文章首先介紹了群的正規覆蓋與代數數域之間的關係,特別是克羅內克類問題與覆蓋群之間的聯繫。諾伊曼-普雷格猜想作為該領域的重要猜想被提出,並簡述了其在數論和代數組合學中的應用。
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預備知識:文章介紹了對角子群的概念,並給出了一個關於有限單群階數的引理。
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主要結果的證明:
- 文章首先證明了一個特殊情況,即當子群 U 與 G 的極小 A-不變子群互補時,諾伊曼-普雷格猜想成立。
- 接著,利用歸納法和先前證明中的特殊情況,文章給出了普雷格定理的完整證明。
結論
本文通過修正普雷格定理的證明,為諾伊曼-普雷格猜想提供了進一步的支持。該結果對於理解有限群的結構以及其在數論和代數組合學中的應用具有重要意義。
統計資料
|A : Inn(G)| = n,其中 A 為 G 的自同構群,Inn(G) 為 G 的內自同構群。
c = ℓA(G/UA),其中 UA 為 U 的 A-核,ℓA(G/UA) 為 G/UA 的 A-子群長度。
引述
"A theorem of Jordan (1872) implies that if G is a finite group, A = Inn(G) and U is an A-covering group of G, then U = G."
"Unfortunately, the proof of [8, Theorem 4.6] is not correct."
"The purpose of this paper is to give a complete proof of Theorem 2."