從卡羅傑系統衍生出的拉克斯隨機矩陣

核心概念

本文探討了一類源自經典可積系統（特別是卡羅傑模型）的拉克斯矩陣結構的隨機矩陣，並通過數值模擬確認了這些隨機矩陣的本徵值密度與廣義隨機矩陣系綜的本徵值密度之間的聯繫，為理解此類隨機矩陣以及可積系統的廣義流體動力學描述提供了基礎。

摘要

文獻綜述

這篇研究論文探討了源自經典可積系統（特別是卡羅傑模型族）的拉克斯矩陣的本徵值密度。

經典可積多體系統的特點是具有大量的守恆量，並一直吸引著數學家和物理學家。它們固有的數學結構為更深入的分析理解提供了獨特的途徑。可積系統的簡單例子是非相互作用粒子和諧波鏈。在前者中，每個粒子的能量是守恆的，而在後者中，與簡正模式相關的能量是守恆的，從而產生了大量的守恆量。當引入相互作用或非線性時，這些非相互作用組分之間的混合會導致幾乎所有局部守恆定律的喪失，從而導致不可積的混沌系統。然而，經過仔細的微調，系統可能會保持大量的守恆電荷。著名的例子包括硬棒系統、Toda鏈和卡羅傑模型。經典自旋模型系列，如Ishimori鏈和Abolwitz Ladik鏈，則有所不同。

對於經典系統，建立大量守恆定律的存在主要是基於拉克斯對（L和M）的可用性。這些是N×N矩陣，其元素取決於N個粒子的位置{qi}和動量{pi}。對於此類可積系統，牛頓運動方程可以改寫為：

˙L = [L, M]，

其中[A, B] = AB - BA表示交換子。從方程式可以推斷出L的本徵值{λi}與時間無關。然而，作為{qi}、{pi}函數的本徵值是非局部的。為了進行流體動力學描述，電荷必須具有局部密度。這是通過定義電荷Qk = tr[Lk]來實現的，k = 1, ..., N，其中tr[A]表示矩陣A的跡。這些電荷是守恆的，並且具有準局部密度。拉克斯形式主義不僅是建立大量局部守恆電荷的關鍵工具，也是處理這些電荷的代數方法。

近年來，人們對可積系統的流體動力學越來越感興趣，無論是在理論上還是在實驗上。對於經典可積系統，一個中心工具是拉克斯矩陣本徵值的經驗密度（態密度，DOS）。DOS定義為：

ϱN(λ) = (1/N) Σ δ(λ - λi)，

其中{λi}是拉克斯矩陣的本徵值。如果位置和動量是隨機分佈的，則L變成一個隨機矩陣。因此，它的本徵值{λi}是隨機的，ϱN(λ)變成一個隨機概率測度。一個具體的例子是位置和動量根據熱吉布斯-玻爾茲曼分佈分佈的情況：

P({qi, pi}N
i=1) = (1/Z) exp (-βH({qi, pi}))，

在逆溫度β下，其中Z是歸一化配分函數。當這些位置和動量是拉克斯矩陣的元素時，我們將此類本徵值密度稱為熱拉克斯DOS。在可積系統的流體動力學描述的背景下，廣義吉布斯系綜（GGE）至關重要。在這種情況下，人們預計在熱力學極限下，以概率1：

lim N→∞ ϱN(λ) = ϱ(λ)。

極限密度ϱ(λ)是確定性的。

在隨機矩陣理論的背景下，從維格納系綜開始，計算極限DOS是一個廣泛研究的問題。本著同樣的精神，研究與可積經典哈密頓量相關的拉克斯矩陣L的本徵值的DOS也很有趣。簡而言之，我們稱它們為隨機拉克斯矩陣。它們是經典可積多體理論的一部分，並構成了一類有趣的新型隨機矩陣。

研究方法和結果

本文以雙曲卡羅傑模型為例，該模型由N個粒子組成，這些粒子通過短程排斥對勢相互作用。利用蒙特卡羅模擬，計算了卡羅傑流體在三種邊界條件下的熱拉克斯DOS：（a）cosh限制阱，（b）限制盒和（c）環上。對於cosh限制的情況，使用兩種方法計算拉克斯DOS：通過直接對角化和基於本徵值的精確聯合分佈。對於其他兩種情況（b）和（c），則使用基於拉克斯矩陣直接對角化的方

研究發現，在相對較低的粒子密度下，卡羅傑流體的拉克斯DOS與Toda鏈非常相似，而在相對較高的密度下，它與三角卡羅傑模型更相似。在低密度和高溫T下，發現DOS可以用方差等於T的高斯函數很好地近似。隨著粒子密度的增加，即使在更高的溫度下，DOS也開始偏離高斯分佈。而在低溫下，排斥相互作用首先使頂部變平，甚至在對稱軸處產生一個凹陷。在最高密度下，在任何溫度下，DOS都趨於平坦，除了非常靠近輪廓邊緣的地方。

主要貢獻

本文的主要貢獻如下：

（i）使用蒙特卡羅模擬，計算了卡羅傑流體在三種邊界條件下的熱拉克斯DOS：（a）cosh限制阱，（b）限制盒和（c）環上。對於cosh限制的情況，使用兩種方法計算拉克斯DOS：通過直接對角化和基於本徵值的精確聯合分佈。對於其他兩種情況（b）和（c），則使用基於拉克斯矩陣直接對角化的方。

（ii）為了闡明邊界條件的作用，比較了卡羅傑流體在不同邊界條件下的拉克斯DOS。

（iii）證明了在低密度下，卡羅傑流體可以用Toda鏈很好地近似，而在高密度下，可以用有理卡羅傑模型很好地近似。對於這些參數，將卡羅傑流體的DOS與近似模型在不同邊界條件下的直接數值模擬結果進行了比較。

總結和展望

總之，本文研究了一類源自經典可積系統的拉克斯矩陣結構的新型隨機矩陣。與隨機矩陣理論（RMT）一樣，態密度（DOS），即本徵值密度，是首先也是最自然的研究量。對於限制在盒子中的卡羅傑模型，我們徹底研究了從其拉克斯矩陣產生的隨機矩陣的DOS，該矩陣由從玻爾茲曼-吉布斯分佈採樣的相空間構型構造而成。我們證明了形狀如何取決於卡羅傑粒子的密度及其溫度。值得注意的是，正如參考文獻[44]中所證明的那樣，如果卡羅傑流體的粒子被限制在外部cosh勢中，則卡羅傑流體的拉克斯矩陣[方程式（1.6）]的本徵值的聯合概率分佈可以映射到高溫下傳統對數氣體的修正[方程式（2.5）]。在這項工作中，我們通過廣泛的MC模擬為此提供了令人信服的數值驗證。在圖2中，我們展示了從修正的對數氣體獲得的本徵值密度與從直接對角化卡羅傑流體的拉克斯矩陣獲得的本徵值密度之間的極好匹配。接下來，我們解決了關於拉克斯DOS對邊界條件細節的敏感性的問題。為此，我們考慮了三種不同的邊界條件：（i）cosh類型的外部陷阱[方程式（1.7）]，（ii）具有硬壁的限制盒和（iii）環上。我們提供了令人信服的數值證據，證明在熱力學極限下，DOS與所使用的特定邊界條件無關。這一發現與以下直覺一致，即對於卡羅傑流體等短程模型，由於快速衰減的關聯，邊界條件的作用並不重要。

卡羅傑流體在低密度和高密度極限下的哈密頓量分別對應於經過充分研究的可積模型，即Toda鏈和有理卡羅傑模型。因此，人們預計拉克斯DOS將與各自的極限相匹配，從而提供了一個很好的程序來提取這些各種深度關聯的可積模型的拉克斯DOS。在圖4中，我們將低粒子密度極限下cosh限制的卡羅傑流體的拉克斯DOS與Toda模型的拉克斯DOS進行了比較，我們觀察到了良好的匹配。類似地，在圖5中，我們將相對高密度下cosh限制的卡羅傑流體的拉克斯DOS與cosh限制的有理卡羅傑模型的拉克斯DOS進行了比較，我們再次觀察到了良好的匹配。在這兩種情況下，我們都研究了各種邊界條件，並確定了在熱力學極限下對邊界條件細節的不敏感性。

我們的工作在兩個主要方面邁出了重要的一步。首先，它提出了一類源自可積模型的新型隨機矩陣，這些矩陣可能適用於各種傳統隨機矩陣診斷的分析結果。例如，人們可以進一步探索能級間距統計、相鄰間隙比和譜形因子等量，以揭示這類新型隨機拉克斯矩陣中本徵值之間的短程和長程關聯的信號。其次，我們研究的隨機拉克斯矩陣也是可積系統廣義流體動力學描述的重要組成部分。雖然在這項工作中，我們關注的是可積粒子模型，但探索具有拉克斯對結構的連續可積場論的可積晶格離散化將會很有趣。此類有希望的平台的例子包括Ablowitz-Ladik方程和Landau-Lifshitz模型的可積離散化。

統計資料

在低密度 (¯ρ = 0.05, 0.075, 0.1) 和溫度 T = 1 時，cosh 限制的卡羅傑流體的 Lax DOS 與 Toda 模型的 Lax DOS 吻合良好。
在高密度 (¯ρ = 5.0, 8.0, 11.0) 和溫度 T = 1 時，cosh 限制的卡羅傑流體的 Lax DOS 與 cosh 限制的有理卡羅傑模型的 Lax DOS 吻合良好。

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Lax random matrices from Calogero systems

by Jitendra Ket... 於 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13254.pdf

深入探究

這項研究如何推動我們對其他可積系統的理解？

這項研究通過探討卡羅傑模型的 Lax 矩陣，為理解其他可積系統提供了以下幾個方面的啟示：

普適性: 研究發現，卡羅傑模型的 Lax 矩陣特徵值密度在熱力學極限下與邊界條件無關。這與短程可積系統的普遍預期一致，也暗示著其他短程可積系統可能也具有類似的普適性。
簡化計算: 研究證實了將卡羅傑模型的 Lax 矩陣特徵值分佈映射到修正對數氣體模型的可行性。這種映射提供了一種簡化計算的方法，可以應用於其他可積系統，特別是那些具有類似 Lax 矩陣結構的系統。
極限行為: 研究揭示了卡羅傑模型在低密度和高密度極限下與 Toda 链和有理卡羅傑模型的聯繫。這為理解其他可積系統的極限行為提供了參考，並暗示著可以利用這些極限模型來研究更複雜系統的性質。

總而言之，這項研究為理解其他可積系統提供了新的思路和方法，例如探索 Lax 矩陣特徵值密度的普適性、尋找簡化計算的映射關係以及研究系統在不同極限下的行為。

如果考慮長程相互作用，而不是卡羅傑模型中的短程相互作用，結果會如何變化？

如果考慮長程相互作用，預計結果將會出現以下幾個方面的變化：

邊界效應: 與短程相互作用不同，長程相互作用會導致系統對邊界條件更加敏感。因此，Lax 矩陣特徵值密度在熱力學極限下可能不再與邊界條件無關，需要考慮不同邊界條件對系統的影響。
修正對數氣體模型: 卡羅傑模型的 Lax 矩陣特徵值分佈與修正對數氣體模型之間的映射關係可能不再成立。長程相互作用會導致更複雜的相互作用形式，需要發展新的理論方法來描述 Lax 矩陣特徵值分佈。
極限行為: 卡羅傑模型在低密度和高密度極限下的簡化模型可能不再適用。長程相互作用會改變系統在這些極限下的行為，需要尋找新的簡化模型來描述系統的性質。

總之，長程相互作用會顯著影響可積系統的性質，包括 Lax 矩陣特徵值密度、與修正對數氣體模型的關係以及極限行為等。研究長程可積系統需要發展新的理論和數值方法。

這項研究成果能否應用於量子可積系統？

雖然這項研究主要關注經典可積系統，但其成果對於理解量子可積系統也具有啟發意義：

量子-經典對應: 許多量子可積系統在經典極限下可以對應到經典可積系統。因此，這項研究中發展的理論方法和數值技術可以為研究量子可積系統提供借鑒。
Lax 矩陣: Lax 矩陣的概念在量子可積系統中同樣重要。通過研究量子可積系統的 Lax 矩陣特徵值分佈，可以揭示系統的能譜結構和動力學性質。
熱力學 Bethe Ansatz: 熱力學 Bethe Ansatz 是一種研究量子可積系統的強有力工具。這項研究中使用的數值模擬方法可以與熱力學 Bethe Ansatz 相結合，為研究量子可積系統提供更全面的理解。

然而，需要注意的是，量子可積系統與經典可積系統之間存在著本質的區別。例如，量子效應會導致能級的離散化和量子漲落等現象。因此，將這項研究成果應用於量子可積系統需要進行適當的推廣和修正。