核心概念
對於特徵 p ≥ 5 的域 K,定義在雙變量函數域 K(s, t) 上的橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t,其 pn-扭點的正規擴張域 K(s, t)(Es,t[pn]) 對 K(s, t) 的自同構群同構於 (Z/pnZ)×,且其不可分次數為 pn。
摘要
文獻資訊
- 標題:橢圓曲線在特徵 p ≥ 5 的域上的 pn-扭點的自同構群
- 作者:Bo-Hae Im 和 Hansol Kim
- 發佈日期:2024 年 10 月 16 日
研究目標
本研究旨在探討特徵 p ≥ 5 的域 K 上,定義於雙變量函數域 K(s, t) 的橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t,其 pn-扭點的正規擴張域 K(s, t)(Es,t[pn]) 對 K(s, t) 的自同構群及其性質。
研究方法
- 本研究首先回顧了超級奇異 j 不變量和橢圓曲線的除法多項式等相關概念。
- 然後,針對橢圓曲線 Es,t 的 pn-扭點,分析了包含 K(s, t) 的子域塔 K(s, t)(Es,t[pn]) 的可分次數和不可分次數。
- 最後,基於上述分析結果,證明了 K(s, t)(Es,t[pn]) 對 K(s, t) 的自同構群同構於 (Z/pnZ)×,且其不可分次數為 pn。
主要發現
- 對於特徵 p ≥ 5 的域 K,定義於 K(s, t) 上的橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t,其 pn-扭點的正規擴張域 K(s, t)(Es,t[pn]) 對 K(s, t) 的自同構群同構於 (Z/pnZ)×。
- 上述正規擴張域的不可分次數為 pn。
主要結論
本研究證明了特徵 p ≥ 5 的域 K 上,橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t 的 pn-扭點的自同構群結構,並揭示了其不可分次數的性質。這些結果有助於更深入地理解正特徵域上的橢圓曲線的算術性質,並為相關領域的研究提供了理論基礎。
研究意義
本研究對於理解正特徵域上的橢圓曲線的 Galois 表示理論具有重要意義,並為進一步研究模 N Galois 表示在正特徵域上的性質提供了新的思路和方法。
局限性和未來研究方向
本研究主要關注特徵 p ≥ 5 的域 K 上的橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t。未來可以進一步探討其他類型橢圓曲線或更一般域上的 pn-扭點的自同構群結構及其性質。
統計資料
橢圓曲線 Es,t: y² = x³ + sx + t 定義在特徵 p ≥ 5 的域 K 上。
n 為正整數。
引述
"Elliptic curves play a central role in modern number theory and algebraic geometry, with applications ranging from cryptography to the study of Diophantine equations."
"While significant progress has been made in understanding mod-N Galois representations in characteristic 0, the case of positive characteristic remains less explored in the literature."