本文首先探討了一個源於黃金比例無窮簡單根式展開式的遞迴關係式:
x₁ = 1,
xₖ = √(1 + xₖ₋₁) (k ≥ 2)
該遞迴關係式會由下而上的逼近黃金比例 ϕ = (1 + √5) / 2,並且具有指數收斂的特性。
文章接著以完整的數學推導證明了該遞迴關係式的收斂速度公式:
0 < lim_(n→∞) (2ϕ)ⁿ(ϕ − xₙ) = 2 Π_(k=2)^∞ (2ϕ) / (ϕ + xₖ) < ∞
作者強調,這個公式的證明過程完全使用基本數學技巧,並未依賴複雜的數學理論。
除了黃金比例的例子之外,文章還探討了另外兩種涉及平方根的遞迴關係式。
第一種遞迴關係式為:
x₁ = 0,
xₖ = √(1/2 + (1/2)xₖ₋₁) (k ≥ 2)
這個遞迴關係式的解為 xₖ = cos(π/2ᵏ),並會由下而上的逼近 1。
第二種遞迴關係式為:
x₁ = 1,
xₖ = √(2 + 2xₖ₋₁) (k ≥ 2)
這個遞迴關係式會逼近 1 + √3,但其高階漸進展開式仍有待研究。
文章最後指出,第二種和第三種遞迴關係式雖然看似無關,但可以透過隱含表示式建立起微妙的聯繫。
將 y = 1/x 代入第二種遞迴關係式,可以得到:
(1 + √(4x² + 1)) / 2 = x (y + √(y² + 4)) / 2 = x f(y)
同樣地,將 y = 1/x 代入第三種遞迴關係式,可以得到:
(x + √(x² + 4)) / 2 = x (1 + √(4y² + 1)) / 2 = x g(y)
作者認為,這兩種遞迴關係式之間的聯繫並非偶然,而是暗示著更深層次的數學結構。
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