舒爾函數

核心概念

本文建立了針對辛群、正交群和正交辛群舒爾函數的新 Murnaghan–Nakayama 法則，並給出了冪和對稱函數與這些函數的乘積的顯式公式。

摘要

摘要
本文建立了針對辛群、正交群和正交辛群舒爾函數的新 Murnaghan–Nakayama 法則。經典的 Murnaghan–Nakayama 法則將冪和對稱函數與舒爾函數的乘積表示為舒爾函數的線性組合。辛群和正交群舒爾函數分別對應於辛群和正交群的不可約表示的特征標。正交辛群舒爾函數作為正交辛李超代數的特征標出現，並且是辛群和普通舒爾函數的混合體。我們推導了相關冪和函數與這些函數的乘積的顯式公式，這些公式可以使用邊界條操作在組合上進行部分描述。我們的 Murnaghan–Nakayama 法則都包含三個不同的項：一個對應於將邊界條添加到相關楊氏圖的經典項，一個涉及移除邊界條的項，以及一個我們在代數和組合上都描述的第三項。
簡介
舒爾函數集由整數分區索引，構成對稱函數代數的基，因此兩個舒爾函數的乘積可以唯一地表示為舒爾函數的線性組合。Littlewood–Richardson 法則給出了展開式中出現的係數的組合描述。當其中一個舒爾函數由單行分區索引時，得到的組合描述稱為皮耶里法則。
冪和對稱函數是對稱函數代數的另一個基，而 Murnaghan–Nakayama 法則將舒爾函數與冪和對稱函數的乘積表示為舒爾函數的線性組合。給定一個分區 µ 和一個正整數 r，
(1.1)
prsµ =
X
λ
(−1)ht(λ/µ)sλ,
其中總和遍歷所有分區 λ ⊇µ，λ/µ 是長度為 r 的邊界條，而 ht(λ/µ) 比邊界條中的行數少一。該法則首先由 Littlewood 和 Richardson 在 [LR34] 中證明（參見 Stanely [Sta23, Pg. 401]），後來由 Murnaghan [Mur37] 和 Nakayma [Nak41] 給出了其他證明。[Jam78] 和 [Men19] 中也給出了其他證明。
Konvalinka 在 [Kon12] 中通過給出具有 q 變形的冪和函數的斜舒爾函數的展開式（以斜舒爾函數表示）給出了 Murnaghan–Nakayama 法則的量子版本。Murnaghan–Nakayama 法則已在其他幾種情況下給出（例如，參見 [JL24]、[NHHL24]、[BBC+23]、[Tew16]）。
辛群和正交群舒爾多項式是辛群和正交群的不可約表示的特征標。它們是 2n 個變量 x±1
1 , . . . , x±1
n 中的對稱洛朗多項式，並且可以使用辛群（分別為正交群）表格在組合上進行描述。Sundaram 在 [Sun90a] 和 [Sun90b] 中給出了辛群和正交群特征標的皮耶里法則。n+m 個交換變量 x1, . . . , xn, y1, . . . , ym 中的鉤子舒爾多項式（或超對稱舒爾多項式）是一般線性李超代數的不可約表示的特征標。Remmel [Rem84] 證明了鉤子舒爾函數滿足與普通舒爾函數相同的皮耶里法則。由於鉤子舒爾多項式可以使用多項式差分算子以舒爾多項式表示，因此超對稱 Murnaghan–Nakayama 法則遵循經典的 Murnaghan–Nakayama 法則（參見定理 2.6）。
正交辛群舒爾函數是正交辛李超代數的模的特征標，是 2n + m 個變量 x±1
1 , . . . , x±1
n , y1, . . . , ym 中的多項式。它們可以被視為辛群舒爾函數和普通舒爾函數的混合體（參見 [BSR98]）。[Sto18] 中給出了正交辛群舒爾函數的皮耶里法則，其中表明乘積展開式中出現的係數與對應辛群舒爾函數的乘積展開式中出現的係數相同。[Kum24]、[PPS22] 和 [SV16] 中最近給出了正交辛群舒爾函數的組合恆等式。
在本文中，我們證明了辛群、正交群和正交辛群 Murnaghan–Nakayma 法則。我們的辛群 Murnaghan–Nakayama 法則（詳見定理 3.4）將辛群冪和 pr 與辛群舒爾多項式 spµ 的乘積表示為作為三個不同總和獲得的辛群舒爾多項式的線性組合。第一個總和是鏡像 (1.1)，並且可以在組合上通過將長度為 r 的邊界條添加到形狀為 µ 的楊氏圖中找到，而第二個總和來自於從楊氏圖中移除長度為 r 的邊界條。第三個總和更為複雜——我們在第 3 節中給出了代數和組合描述。正交群 Murnaghan–Nakayama 法則（在定理 3.7 和定理 3.10 中給出）採用了類似的形式。
與皮耶里法則設定不同，我們在定理 4.3 中證明的正交辛群 Murnaghan–Nakayama 法則並不完全反映辛群 Murnaghan–Nakayama 法則；第三個總和涉及辛群舒爾函數和普通舒爾函數。
本文的結構如下。我們從預備部分（第 2 節）開始，其中我們討論了關鍵的對稱和超對稱多項式、辛群、正交群和正交辛群舒爾函數、經典的 Murnaghan–Nakayama 法則以及各種相關結果。在第 3 節中，我們證明了辛群和正交群 Murnaghan–Nakayama 法則。最後，在第 4 節中，我們證明了正交辛群 Murnaghan–Nakayama 法則。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Murnaghan--Nakayama rules for symplectic, orthogonal and orthosymplectic Schur functions

by Nishu Kumari... 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.11447.pdf

深入探究

如何將本文提出的 Murnaghan–Nakayama 法則推廣到其他类型的特殊函數？

將 Murnaghan–Nakayama 法則推廣到其他类型的特殊函數是一個活躍的研究方向，以下是一些可能的途徑：

推廣到其他类型的舒爾函數： 本文研究了辛群、正交群和正交辛群的舒爾函數，可以嘗試將其推廣到其他类型的舒爾函數，例如：

仿射舒爾函數 (Affine Schur functions): 仿射舒爾函數是與仿射李代數相關的特殊函數，可以探討是否存在类似的 Murnaghan–Nakayama 法則。
麥克唐納多項式 (Macdonald polynomials): 麥克唐納多項式是舒爾函數的兩参数推廣，可以研究其與冪和對稱函數乘積的展開式。

推廣到其他类型的對稱函數： 除了舒爾函數，還可以考慮將 Murnaghan–Nakayama 法則推廣到其他类型的對稱函數，例如：

霍爾-利特爾伍德函數 (Hall-Littlewood functions): 霍爾-利特爾伍德函數是舒爾函數的一参数推廣，可以探討是否存在类似的組合規則。
傑克多項式 (Jack polynomials): 傑克多項式是舒爾函數的另一種推廣，可以研究其與冪和對稱函數乘積的展開式。

尋找新的組合對象和規則： Murnaghan–Nakayama 法則的關鍵在於其組合描述，可以嘗試尋找新的組合對象和規則來描述其他特殊函數與冪和對稱函數乘積的展開式。

总而言之，將 Murnaghan–Nakayama 法則推廣到其他类型的特殊函數需要深入理解特殊函數的性質以及其組合解釋，並尋找新的組合對象和規則。

是否存在其他方法可以推導出辛群、正交群和正交辛群舒爾函數的 Murnaghan–Nakayama 法則？

除了本文使用的行列式方法，還可以使用以下方法推導出辛群、正交群和正交辛群舒爾函數的 Murnaghan–Nakayama 法則：

晶體基底理論 (Crystal basis theory): 晶體基底理論提供了一種組合框架來研究李代數的表示理論，可以利用晶體算子來推導 Murnaghan–Nakayama 法則。
插入算法 (Insertion algorithms): 類似於羅賓遜-申斯特德-克努斯對應 (Robinson-Schensted-Knuth correspondence) ，可以嘗試發展新的插入算法來描述冪和對稱函數與辛群、正交群和正交辛群舒爾函數乘積的結果。
生成函數方法 (Generating function techniques): 可以利用生成函數來研究特殊函數的性質，並嘗試從生成函數的角度推導 Murnaghan–Nakayama 法則。

每種方法都有其優缺點，選擇哪種方法取決於具體問題和研究者的偏好。

本文的研究成果對於理解李群和李超代數的表示理論有何啟示？

本文的研究成果對於理解李群和李超代數的表示理論有以下啟示：

揭示了不同類型舒爾函數之間的聯繫： 本文推導出的 Murnaghan–Nakayama 法則揭示了辛群、正交群和正交辛群舒爾函數與經典舒爾函數之間的密切聯繫，有助於更深入地理解不同類型李群和李超代數的表示理論之間的關係。
提供了新的組合工具： 本文提出的 Murnaghan–Nakayama 法則提供了一種新的組合工具來計算辛群、正交群和正交辛群舒爾函數與冪和對稱函數的乘積，有助於更有效地研究這些特殊函數的性質。
促進了對稱函數理論的發展： 本文的研究成果推動了對稱函數理論的發展，並為研究其他特殊函數的 Murnaghan–Nakayama 法則提供了新的思路和方法。

总而言之，本文的研究成果加深了我們對李群和李超代數表示理論的理解，並為該領域的未來研究提供了新的方向。