唯一可接受的e值合併方式

核心概念

唯一可接受的e值合併方式是使用加權算術平均。

摘要

本文證明了唯一可接受的e值合併方式是使用加權算術平均。這個結果完整描述了e值合併的方法,並推廣了Vovk和Wang (2021)的結果,即唯一可接受的對稱e值合併方式是使用算術平均加上一個常數。雖然這個結論是自然預期的,但其證明需要利用最優運輸對偶和極小極大定理的複雜應用。

首先,作者證明了任何e值合併函數F都滿足F(e) ≤1 ∨ max(e)。利用這個性質,作者應用最優運輸對偶和極小極大定理,證明了任何e值合併函數F都可以表示為某個加權平均Πλ的上界,其中λ∈∆K+1。進一步地,作者證明了F是可接受的e值合併函數當且僅當F = Πλ對於某個λ∈∆K+1。

這個結果證明了在許多應用中使用e值的加權平均是正確的,不需要擔心是否存在更好的選擇。雖然這個結論是自然預期的,但其證明需要利用最優運輸對偶的複雜分析,與Vovk和Wang (2021)對稱情形的證明完全不同。

統計資料

無

引述

無

從以下內容提煉的關鍵洞見

The only admissible way of merging e-values

by Ruodu Wang 於 arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.19888.pdf

深入探究

除了加權平均,是否還存在其他有用的e值合併函數?

根據文獻，除了加權算術平均外，對於e值的合併函數，特別是在不假設對稱性的情況下，並不存在其他可接受的合併方法。Vovk和Wang（2021）已經證明，所有可接受的對稱e值合併函數可以表示為算術平均和常數1的凸組合。這一結果引出了自然的猜想，即在不假設對稱性的情況下，所有可接受的e值合併函數應該是加權平均和常數1的凸組合。這一猜想在Wang（2024）中得到了證明，從而完整地描述了所有可接受的e值合併函數。因此，除了加權平均，沒有其他有效的e值合併函數。

如果我們假設輸入的e值具有特定的依賴結構,是否會有更多可接受的e值合併方法?

是的，如果假設輸入的e值具有特定的依賴結構，則可以存在更多的可接受的e值合併方法。當e值是獨立或序列化的時候，Vovk和Wang（2021, 2024）已經探討了許多其他可接受的合併方法。在這些情況下，合併函數的形式可以更加靈活，因為依賴結構的假設使得合併過程中可以考慮到e值之間的相互關係，從而可能導致更高效的合併策略。因此，特定的依賴結構可以擴展可接受的e值合併方法的範圍。

最優運輸理論在統計推論中有哪些其他重要應用?

最優運輸理論在統計推論中有多個重要的應用，除了在e值合併中的應用外，還包括以下幾個方面：

數據分配與匹配問題：最優運輸理論可以用於解決數據分配問題，例如在資源分配、物流和供應鏈管理中，通過最小化運輸成本來達成最佳的資源配置。

統計推斷中的模型選擇：在模型選擇中，最優運輸理論可以幫助比較不同模型的預測分佈，通過最小化分佈之間的距離來選擇最佳模型。

生成對抗網絡（GANs）：在機器學習中，最優運輸理論被用於改進生成對抗網絡的訓練過程，通過最小化生成數據分佈與真實數據分佈之間的Wasserstein距離來提高生成模型的穩定性和質量。

多邊際最優運輸問題：在多變量統計中，最優運輸理論可以用於處理多邊際最優運輸問題，這對於理解多維數據的結構和關係至關重要。

這些應用展示了最優運輸理論在統計推論中的廣泛影響，並強調了其在解決複雜問題中的重要性。