核心概念
本文提出了一種新的方法,利用張量神經網絡來求解多體薛定谔方程。基於張量積結構,我們可以使用固定的高斯積分點對張量神經網絡構建的函數進行直接數值積分,計算複雜度可控。特別地,我們設計了幾種高效的數值方法來處理變耦合庫倫勢能,實現高精度計算。
摘要
本文介紹了一種利用張量神經網絡(TNN)求解多體薛定谔方程的新方法。
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薛定谔方程是量子力學中最基本的問題之一,描述了量子力學系統的波函數,可以獲得粒子位置、動量、能量等可觀測量的概率信息。
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求解薛定谔方程存在兩大困難:
- 高維優化問題,波函數Ψ(r)的維度為3N,直接數值積分的計算量呈指數增長,陷入維度詛咒。
- 需滿足泡利不相容原理,波函數必須滿足反對稱性質。
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本文提出利用TNN架構來構建試探函數集,並設計高精度的直接數值積分方法。TNN具有以下優點:
- 可以實現高維積分的多項式級別計算複雜度。
- 通過加入懲罰項來滿足反對稱性質,無需額外引入斯萊特行列式結構。
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具體方法如下:
- 使用TNN Ψ(x; θ)來逼近波函數,並定義優化問題(4.9)求解其最優參數θ*。
- 設計高效的數值積分方法(3.10)計算(4.9)中的各項積分,複雜度為多項式級別。
- 對於非可分離的庫倫勢能項,提出兩種方法進一步提高計算效率:
- 使用TNN插值技術構建可分離的近似(5.1)。
- 利用二維離散值的結構特性加速二維積分(5.8)。
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數值實驗驗證了所提方法在原子和二原子分子體系中的高精度和高效性。
統計資料
薛定谔方程的哈密頓量可表示為(1.2)式。
波函數Ψ(r)的反對稱性質如(1.4)式所示。
哈密頓量算子的拉普拉斯算子在球坐標系下的表達式為(4.2)式。
庫倫勢能項1/|r1-r2|的展開式為(4.6)式。
引述
"本文提出了一種新的方法,利用張量神經網絡來求解多體薛定谔方程。"
"基於張量積結構,我們可以使用固定的高斯積分點對張量神經網絡構建的函數進行直接數值積分,計算複雜度可控。"
"特別地,我們設計了幾種高效的數值方法來處理變耦合庫倫勢能,實現高精度計算。"