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使用張量神經網絡求解薛定谔方程


核心概念
本文提出了一種新的方法,利用張量神經網絡來求解多體薛定谔方程。基於張量積結構,我們可以使用固定的高斯積分點對張量神經網絡構建的函數進行直接數值積分,計算複雜度可控。特別地,我們設計了幾種高效的數值方法來處理變耦合庫倫勢能,實現高精度計算。
摘要

本文介紹了一種利用張量神經網絡(TNN)求解多體薛定谔方程的新方法。

  1. 薛定谔方程是量子力學中最基本的問題之一,描述了量子力學系統的波函數,可以獲得粒子位置、動量、能量等可觀測量的概率信息。

  2. 求解薛定谔方程存在兩大困難:

    • 高維優化問題,波函數Ψ(r)的維度為3N,直接數值積分的計算量呈指數增長,陷入維度詛咒。
    • 需滿足泡利不相容原理,波函數必須滿足反對稱性質。
  3. 本文提出利用TNN架構來構建試探函數集,並設計高精度的直接數值積分方法。TNN具有以下優點:

    • 可以實現高維積分的多項式級別計算複雜度。
    • 通過加入懲罰項來滿足反對稱性質,無需額外引入斯萊特行列式結構。
  4. 具體方法如下:

    • 使用TNN Ψ(x; θ)來逼近波函數,並定義優化問題(4.9)求解其最優參數θ*。
    • 設計高效的數值積分方法(3.10)計算(4.9)中的各項積分,複雜度為多項式級別。
    • 對於非可分離的庫倫勢能項,提出兩種方法進一步提高計算效率:
      1. 使用TNN插值技術構建可分離的近似(5.1)。
      2. 利用二維離散值的結構特性加速二維積分(5.8)。
  5. 數值實驗驗證了所提方法在原子和二原子分子體系中的高精度和高效性。

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統計資料
薛定谔方程的哈密頓量可表示為(1.2)式。 波函數Ψ(r)的反對稱性質如(1.4)式所示。 哈密頓量算子的拉普拉斯算子在球坐標系下的表達式為(4.2)式。 庫倫勢能項1/|r1-r2|的展開式為(4.6)式。
引述
"本文提出了一種新的方法,利用張量神經網絡來求解多體薛定谔方程。" "基於張量積結構,我們可以使用固定的高斯積分點對張量神經網絡構建的函數進行直接數值積分,計算複雜度可控。" "特別地,我們設計了幾種高效的數值方法來處理變耦合庫倫勢能,實現高精度計算。"

從以下內容提煉的關鍵洞見

by Yangfei Liao... arxiv.org 10-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2209.12572.pdf
Solving Schr\"{o}dinger Equation Using Tensor Neural Network

深入探究

如何將本文方法推廣到求解更複雜的量子力學問題,如量子化學中的分子結構優化?

本文所提出的張量神經網絡(TNN)方法具有良好的高維度問題求解能力,這使得其在量子化學中的分子結構優化問題中具有潛在的應用價值。為了將此方法推廣到更複雜的量子力學問題,可以考慮以下幾個方面: 擴展哈密頓量:在分子結構優化中,哈密頓量通常包含多種相互作用,包括電子-電子、電子-核及核-核之間的相互作用。可以通過修改TNN架構來適應這些複雜的哈密頓量,並利用TNN的高效數值積分能力來計算這些相互作用的能量。 引入多體效應:在處理多體系統時,需考慮多體效應對波函數的影響。可以通過在TNN中引入額外的結構來捕捉這些多體效應,例如使用Slater行列式結構來確保波函數的反對稱性,從而滿足泡利不相容原理。 優化算法:在分子結構優化過程中,通常需要進行大量的能量計算和梯度計算。可以結合自適應學習率的優化算法(如Adam或L-BFGS)來提高收斂速度,並利用並行計算技術來加速計算過程。 數據驅動方法:結合機器學習技術,利用已有的量子化學數據來訓練TNN模型,從而提高模型的預測準確性和計算效率。

如何進一步提高本文方法在大規模多體系統中的計算效率和可擴展性?

為了提高本文方法在大規模多體系統中的計算效率和可擴展性,可以考慮以下幾個策略: 模型簡化:通過對TNN架構進行簡化,減少參數的數量,從而降低計算複雜度。例如,可以使用低秩近似來減少TNN的維度,這樣可以在保持準確性的同時顯著提高計算效率。 分佈式計算:利用分佈式計算框架(如Hadoop或Spark)來並行處理多個計算任務,特別是在進行大量的能量計算和梯度計算時,這樣可以顯著縮短計算時間。 自適應網格技術:在進行數值積分時,使用自適應網格技術來集中計算資源於重要區域,這樣可以提高計算效率,特別是在處理具有強相互作用的系統時。 高效的數值積分方法:進一步改進數值積分方法,例如使用更高效的高斯積分或其他數值積分技術,以減少計算量並提高精度。

本文方法是否可以應用於其他高維偏微分方程的求解,如流體力學、材料科學等領域?

是的,本文所提出的TNN方法具有廣泛的應用潛力,可以推廣到其他高維偏微分方程的求解中,包括流體力學和材料科學等領域。具體而言: 流體力學:在流體力學中,許多問題涉及到高維度的流場描述。TNN可以用來近似流體的速度場和壓力場,並通過求解Navier-Stokes方程來模擬流體行為。利用TNN的高效數值積分能力,可以有效地處理流體中的非線性效應。 材料科學:在材料科學中,TNN可以用於模擬材料的微觀結構和性能,特別是在多尺度建模中。通過將TNN應用於描述材料的能量表面,可以有效地預測材料的相變和力學性能。 其他高維PDE:TNN的通用近似性質使其能夠應用於各種高維PDE的求解,包括熱傳導方程、波動方程等。這些方程通常具有複雜的邊界條件和初始條件,TNN可以通過其靈活的結構來適應這些需求。 總之,TNN方法的高效性和靈活性使其在多個科學和工程領域中具有廣泛的應用潛力。
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