對稱限制對拓撲不變量和不可約帶表示的影響

核心概念

對於在緊束縛模型下出現能隙的系統,只有當連接的帶具有相同的不可約帶表示(IBR)基底時,其Berry-Wilczek-Zee(BWZ)相位才會與IBR基底相關。因此,可以通過IBR基底來評估BWZ相位。空間群對稱可以通過Wigner-Eckart定理對BWZ相位施加選擇規則。

摘要

本文探討了對稱限制對拓撲不變量和不可約帶表示(IBR)的影響。

首先,作者建立了物理色散面的BWZ相位與其EBR或IBR基底的BWZ相位之間的明確聯繫。當在緊束縛模型下出現能隙時,一組連接的帶與其帶表示基底之間的關係只有在後者為IBR時才會持續。因此,可以通過IBR基底來評估BWZ相位。

作者進一步利用IBR基底的變換性質,建立了空間群對BWZ路徑積分(PIBC)的表示。這使得可以應用Wigner-Eckart定理,確定對BWZ相位的選擇規則(如果觀測量被對稱禁止)和相對強度。

分析表明,對稱並不能保證所有連接帶的相位都是拓撲平凡的。因此,基於EBR的對稱指標方法並不能建立在空間群上的選擇規則。只有在某些空間群中,通過禁止PIBC的縮減張量元素,才能建立選擇規則,連接帶才能被保證為拓撲平凡相。

最後,作者提供了幾個例子,說明了對稱如何限制BWZ相位,以及拓撲平凡相的對稱保護。

統計資料

以下是支持作者論點的重要數據:

在緊束縛模型下出現能隙的系統中,只有當連接的帶具有相同的IBR基底時,其BWZ相位才會與IBR基底相關。
空間群對PIBC形成表示,可以應用Wigner-Eckart定理確定對BWZ相位的選擇規則。
對於某些空間群,通過禁止PIBC的縮減張量元素,可以建立選擇規則,連接帶才能被保證為拓撲平凡相。
基於EBR的對稱指標方法並不能建立在空間群上的選擇規則,只能得到拓撲平凡相的子集。

引述

"只有當連接的帶具有相同的IBR基底時,其BWZ相位才會與IBR基底相關。"
"空間群對PIBC形成表示,可以應用Wigner-Eckart定理確定對BWZ相位的選擇規則。"
"只有在某些空間群中,通過禁止PIBC的縮減張量元素,才能建立選擇規則,連接帶才能被保證為拓撲平凡相。"

從以下內容提煉的關鍵洞見

Symmetry constraints on topological invariants and irreducible band representations

by Jing Zhang 於 arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2408.16658.pdf

深入探究

除了IBR,是否還有其他可以作為拓撲平凡相的建構塊的概念?

在拓撲量子化學中，除了不可約帶表示（IBR）之外，還有其他概念可以作為拓撲平凡相的建構塊。例如，基本帶表示（EBR）也被認為是拓撲平凡相的基礎，特別是在考慮到其與IBR的關係時。EBR是由晶體的對稱性所決定的，並且在某些情況下，當EBR完全佔據時，它們的BWZ相位（Berry-Wilczek-Zee phase）可以被認為是零，這意味著這些帶的拓撲性質是平凡的。此外，還可以考慮其他的對稱性指標和選擇規則，這些指標和規則能夠幫助識別拓撲平凡相的存在。這些概念的結合使得我們能夠更全面地理解拓撲相的分類和特性。

對於不同的空間群,哪些因素決定了是否能建立對BWZ相位的選擇規則?

對於不同的空間群，建立BWZ相位的選擇規則的能力主要取決於以下幾個因素：首先，空間群的對稱性特徵，包括其點群和晶格平移對稱性，會影響到BWZ相位的計算和分析。其次，帶的連通性和能帶結構的特性也至關重要，特別是在高對稱點（HSPs）附近的帶結構。當帶的連通性保持不變且具有相同的不可約表示時，選擇規則更容易建立。此外，對於某些空間群，特定的對稱性可能會禁止BWZ相位取非零值，這意味著在這些情況下，拓撲平凡相是對稱性所保證的。最後，是否存在動態的不可約帶表示（IBR）也會影響選擇規則的建立，因為IBR的存在可以提供額外的對稱性約束。

如何將本文的分析方法推廣到考慮時間反演對稱的系統,或者具有磁性的系統?

將本文的分析方法推廣到考慮時間反演對稱（T）或具有磁性的系統，首先需要考慮時間反演對稱對波矢空間的影響。時間反演對稱會將路徑γ和−γ視為同一共表示的組成部分，這意味著在計算BWZ相位時，必須考慮這些額外的等效路徑。這樣可以擴展閉合不收縮路徑的集合，從而使得選擇規則的建立變得更加可行。其次，在具有磁性的系統中，應用帶共表示（BCR）而非普通的帶表示（BR）來進行分析，這樣可以更好地捕捉到磁性對帶結構的影響。通過這些方法，可以在時間反演對稱和磁性系統中建立相應的選擇規則，從而識別拓撲平凡相的存在。這些推廣不僅增強了對拓撲相的理解，還擴展了對稱性在不同物理系統中的應用範圍。