單子能做與不能做的事：深入探討（附錄）

核心概念

本文探討了延遲單子與其他單子的組合，特別關注其在類型論中建模遞迴和計算效應的能力和限制。

摘要

單子能做與不能做的事：深入探討（附錄）

這篇研究論文深入探討了延遲單子與其他單子的組合，特別關注其在類型論中建模遞迴和計算效應的能力和限制。

本文旨在系統性地研究延遲單子與其他單子的組合，以了解其在類型論中表達遞迴和計算效應的可能性和限制。

本文採用理論分析的方法，探討了延遲單子與各種常見計算效應單子的組合，例如例外、讀取器、全局狀態、延續和選擇單子。
文章進一步研究了將延遲單子分佈於其他單子的分佈律，並根據代數理論的特性（例如平衡方程式、冪等性和可交換性）分析了分佈律的存在性和性質。

從以下內容提煉的關鍵洞見

What Monads Can and Cannot Do with a Few Extra Pages

by Rasm... 於 arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.15919.pdf

深入探究

延遲單子如何與其他非代數單子（例如概率單子）組合？

延遲單子與非代數單子的組合情況較為複雜，需要根據具體的單子類型進行分析。以下以概率單子為例進行說明：
概率單子通常表示為 PX = Dist(X)，其中 Dist(X) 代表 X 上的概率分佈。與延遲單子的組合主要有兩種思路：

分佈律: 嘗試尋找形如 DκP → PDκ 或 PDκ → DκP 的分佈律。然而，由於概率單子通常不滿足延遲單子分佈所需的代數性質（例如平衡方程式），直接尋找分佈律可能會遇到困難。如文中提到的冪集單子案例，即使是冪等性也可能導致分佈律不存在。

其他組合方式:

單子變換器: 類似於狀態單子的情況，可以嘗試構造概率單子的單子變換器，將延遲單子封裝在概率單子內部，例如 XDκ → PDκX。這種方式可以模擬在概率選擇過程中引入延遲。

特定語義: 可以根據具體應用場景，為概率單子和延遲單子的組合定義特定的語義。例如，可以定義一種新的單子，表示“延遲的概率選擇”，並為其設計相應的操作語義。

需要注意的是，與代數單子不同，非代數單子缺乏統一的代數描述，因此與延遲單子的組合方式也更加靈活多變。

是否存在其他方法可以放寬分佈律的條件，以允許延遲單子與更廣泛的單子組合？

除了文中提到的弱雙模擬等價關係，還有一些其他的方法可以放寬分佈律的條件，使得延遲單子能夠與更廣泛的單子組合：

放鬆分佈律的等式: 可以考慮放鬆分佈律中要求的嚴格等式，例如使用同倫類型論中的「等價」關係來代替等式。這樣可以允許一些不滿足嚴格分佈律的單子組合，例如包含特定形式的非平衡方程式的單子。

使用更弱的單子概念: 可以考慮使用比標準單子更弱的單子概念，例如鬆弛單子 (lax monad) 或強單子 (strong monad)。這些單子概念對單子運算的約束更少，因此更容易找到滿足條件的分佈律。

語義組合: 可以跳過尋找分佈律的過程，直接在語義層面上定義延遲單子與其他單子的組合。例如，可以使用範疇論中的餘代數或其他語義模型來描述單子的行為，並在語義層面上定義它們的組合方式。

這些方法各有優缺點，需要根據具體的應用場景和需求選擇合適的方法。

延遲單子在類型論中的應用如何影響程式語言的設計和實現？

延遲單子在類型論中的應用對程式語言的設計和實現產生了以下影響：

直接表達遞迴: 延遲單子為在類型論中直接表達遞迴提供了一種方式，避免了傳統遞迴定義中可能出現的非終止問題。這使得程式語言能夠更安全地處理遞迴，並簡化遞迴程式的推理過程。

模擬計算效應: 如文中所述，延遲單子可以與其他計算效應單子（例如狀態單子、異常單子等）組合，模擬更複雜的計算行為。這為程式語言設計者提供了更豐富的工具，用於表達和處理各種計算效應。

實現惰性求值: 延遲單子可以被用於實現惰性求值，即僅在需要時才計算表達式的值。這可以提高程式效率，並允許程式處理無限數據結構。

設計新的程式語言: 基於延遲單子和防護遞迴的類型論，例如 Clocked Cubical Type Theory，為設計新的程式語言提供了理論基礎。這些語言可以內建對遞迴、計算效應和惰性求值的支援，並提供更強的類型安全性和程式驗證能力。

總體而言，延遲單子在類型論中的應用促進了程式語言在表達能力、安全性、效率和可驗證性等方面的發展。