相對單子性

核心概念

本文闡述了在虛擬設備中具有稠密根的相對單子的相對單子性定理，並將其應用於豐富的相對單子。

摘要

簡介

• 單子性是範疇論中的基本概念，用於描述一個函子如何將一個範疇表示為另一個範疇上的單子代數範疇。
• 單子性定理提供了一些充分（通常也是必要）條件，用於判斷一個函子是否是單子的。
• 然而，經典的單子性概念有時過於粗糙，因為它沒有區分代數運算的元數和代數的載體。
• 相對單子是單子概念的改進，它放寬了單子的底層函子必須是自函子的要求。
• 相對單子性允許我們將一個範疇的對象識別為另一個範疇上的對象，這些對象具有元數在另一個範疇中取值的代數結構。

相對單子性通過餘極限的創建

• 對於一個範疇 E 上的恆等函子 j，一個 j-相對單子是一個（非相對）單子。
• 對於更一般的函子 j，也有一些已知的 j-單子性刻畫。
• 本文旨在建立一個更具有一般性的刻畫，放寬了根 j 必須是完全忠實的假設，並將其推廣到豐富範疇論的設定中。

相對單子性通過複合

• 給定一個單子函子 r′: D → E，我們通常希望知道在什麼情況下，將另一個函子 r: C → D 與 r′ 複合後，得到的複合函子 (r ; r′): C → E 也是單子的。
• 事實上，這等價於 r 相對於 ℓ′: A → D 是單子的，其中 ℓ′ 是 r′ 的左 j-相對伴隨。
• 這個觀察結果可以看作是相對單子伴隨的粘貼法則。

文章結構

• 文章首先回顧了虛擬設備中的形式範疇論概念。
• 然後，文章引入了在虛擬設備中創建極限和餘極限的概念，並證明了從 j-相對單子的代數對象到其底層範疇的遺忘緊單元格嚴格地創建了極限和 j-絕對餘極限。
• 接著，文章證明了一個形式化的相對單子性定理，並作為推論，證明了相對單子的代數範疇是單子的代數範疇，當且僅當從代數範疇到其底層範疇的遺忘緊單元格有一個左伴隨。
• 文章還將相對單子性定理應用於 V-Cat 和 V-Catco，其中 V 是一個良好的單項範疇，得到了豐富的相對單子性和相對餘單子性定理。
• 最後，文章考慮了相對伴隨的粘貼法則與相對單子性之間的相互作用，並由此推導出一個函子與一個相對單子函子的複合函數本身是相對單子的充分必要條件。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Relative monadicity

by Nathanael Ar... 於 arxiv.org 10-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2305.10405.pdf

深入探究

如何將相對單子性定理推廣到更一般的範疇論框架中？

本文將相對單子性定理推廣到虛擬設備（virtual equipment）的框架中，這是一個比傳統範疇論更廣泛的框架。虛擬設備包含了普通範疇、豐富範疇、內部範疇等多種範疇論結構作為特例。
具體來說，文章通過以下步驟實現了推廣：

將相對單子、相對伴隨等概念推廣到虛擬設備中。 這需要對這些概念的定義進行適當的調整，以便它們能夠在虛擬設備的框架下工作。例如，相對單子的定義中，單子的承載函子不再局限於自函子，而可以是任意一個緊胞 (tight-cell)。
在虛擬設備中定義加權極限和加權餘極限。 這些概念是相對單子性定理的關鍵組成部分。文章利用虛擬設備中的結構，給出了這些概念的合適定義。
證明虛擬設備中的相對單子性定理。 該定理給出了判斷一個緊胞是否是相對單子的充分必要條件。證明過程與傳統範疇論中的證明類似，但需要考慮虛擬設備的特殊性。

通過這種方式，文章將相對單子性定理推廣到了一個更一般的框架中，使其適用於更廣泛的範疇論結構。

是否存在一些不滿足相對單子性定理條件的函子，但仍然可以被視為某種意義上的「單子」？

是的，存在一些函子不滿足相對單子性定理的條件，但仍然可以被視為某種意義上的「單子」。以下是一些例子：

弱單子 (Weak monad): 弱單子放鬆了單子定義中的結合律要求，使其僅滿足一個弱化的結合律。弱單子在計算機科學中有一些應用，例如用於建模副作用。
可分佈單子 (Distributive monad): 可分佈單子是指滿足一定分配律的單子。並非所有單子都滿足分配律，因此可分佈單子是單子的一個特殊類型。
相對單子性定理的變體： 文章中提到的相對單子性定理要求根函子 (root functor) 是稠密的 (dense)。對於非稠密的根函子，可能存在一些函子不滿足該定理的條件，但仍然可以被視為相對單子。例如，Walters [Wal70] 就研究了非稠密根函子情況下的相對單子性定理。
需要注意的是，這些「單子」的概念可能與傳統的單子概念有所不同，它們的性質和應用也可能有所差異。

相對單子性概念在計算機科學和數學的其他領域有哪些應用？

相對單子性概念在計算機科學和數學的其他領域有著廣泛的應用，以下列舉一些例子：
計算機科學:

程式語言語義: 相對單子可以用於描述程式語言中的計算效應，例如狀態、異常和非決定性。相對單子性定理可以幫助我們證明程式語言的語義模型的正確性。
數據類型構造: 相對單子提供了一種通用的數據類型構造方法，例如列表、樹和圖。相對單子性定理可以幫助我們證明這些數據類型構造的性質。
程式設計模式: 相對單子可以形式化一些常用的程式設計模式，例如迭代器和訪問者模式。相對單子性定理可以幫助我們證明這些程式設計模式的正確性。
數學:

代數結構: 相對單子可以用於研究代數結構，例如群、環和模。相對單子性定理可以幫助我們證明這些代數結構的性質。
拓撲空間: 相對單子可以用於研究拓撲空間，例如緊緻空間和豪斯多夫空間。相對單子性定理可以幫助我們證明這些拓撲空間的性質。
邏輯: 相對單子可以用於研究邏輯系統，例如命題邏輯和謂詞邏輯。相對單子性定理可以幫助我們證明這些邏輯系統的性質。
總之，相對單子性概念提供了一個強大的工具，可以用於研究各種數學和計算機科學問題。