利用部分預言機和 Grover 演算法加速量子搜尋

核心概念

本文提出了一種利用部分預言機加速 Grover 量子搜尋演算法的方法，並探討了其在特定搜尋問題中的效能優勢。

摘要

摘要
Grover 演算法是一種重要的量子演算法，常用於搜尋無序資料庫。該演算法利用預言機函數的概念，該函數抽象了匹配搜尋項的過程（匹配返回 1，否則返回 0）。然而，傳統 Grover 演算法將預言機函數視為黑盒子，僅返回 1 位資訊。本文探討了將多個預言機與匹配條件的每個位元相關聯的想法，從而獲得多個可以獨立測試的部分預言機函數。基於此，本文提出了一種多階段混合搜尋演算法，其效能介於 O(√N)（與 Grover 相同）和 O(log(N)) 之間。本文以最簡單的搜尋場景（使用排列操作對輸入索引位元進行置亂）驗證了該演算法的有效性。
主要內容

引言: Grover 演算法是許多量子演算法的重要組成部分，但其 O(√N) 的時間複雜度限制了許多量子演算法的效能。本文旨在探討利用搜尋問題中隱含的多位元資訊來加速 Grover 演算法。

基於部分預言機的演算法: 本文提出了一種基於部分預言機的迭代演算法。該演算法將搜尋問題分解為多個階段，每個階段使用一個新的部分預言機函數來約束搜尋空間。在每個階段，使用 Grover-Long 演算法來找到滿足當前約束條件的索引狀態。

演算法效能: 理論上，部分預言機演算法的最佳效能取決於目標集大小 {M1, ..., Mm} 的序列。當 Mℓ/Mℓ−1 = 1/4 時，該演算法可以實現 O(log(N)) 的時間複雜度。然而，在實踐中，實現這種最佳效能需要有效地建模中間狀態 |Tℓ⟩。

實踐中的演算法: 本文以一個簡單的搜尋問題（置亂器場景）為例，測試和驗證了部分預言機演算法。結果表明，該演算法可以有效地解決此類搜尋問題，並且在某些情況下可以實現 O(log(N)) 的時間複雜度。

結論
本文提出了一種利用部分預言機加速 Grover 量子搜尋演算法的方法。該演算法通過發現標記位元和搜尋索引之間的關聯性來加速搜尋，從而發現搜尋空間中隱含的順序。在某些情況下，該演算法可以實現比傳統 Grover 演算法更快的搜尋速度。然而，該演算法的效能取決於搜尋問題的具體特徵，例如目標集大小的減少方式以及中間狀態的建模難度。未來需要進一步研究該演算法在更複雜搜尋問題中的應用。

統計資料

在最佳情況下，當每個階段的目標集大小減半時 (Mℓ/Mℓ−1 = 1/4)，部分預言機演算法可以實現 O(log(N)) 的時間複雜度。
對於一個 14 位元金鑰長度的搜尋問題，部分預言機演算法僅需 14 次預言機查詢即可找到解決方案，而傳統 Grover 演算法則需要 128 次查詢。
隨著用於建模中間狀態的樣本數量 (NShots) 的增加，搜尋結果的準確性也隨之提高。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Accelerated quantum search using partial oracles and Grover's algorithm

by Fintan M. Bo... 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.13035.pdf

深入探究

如何將部分預言機演算法應用於更複雜的搜尋問題，例如需要考慮多位元關聯性的問題？

將部分預言機演算法應用於需要考慮多位元關聯性的複雜搜尋問題，主要挑戰在於如何有效地對中間狀態進行建模。以下列出一些可能的解決方案：

高階關聯性模型狀態: 對於涉及多位元關聯性的問題，簡單的位元模型狀態 (bitwise modelled state) 可能不足以準確地表示中間狀態。可以考慮使用更複雜的模型狀態，例如考慮兩位元或多位元關聯性的模型狀態。這需要更複雜的統計分析和電路建構，但可以提高模型的準確性，進而提升演算法效能。

機器學習輔助建模: 可以利用機器學習技術來學習和表示複雜的關聯性。例如，可以使用受限玻爾茲曼機 (RBM) 或變分自動編碼器 (VAE) 等生成模型來學習輸入資料的分佈，並使用學習到的模型來生成更準確的模型狀態。

分層式部分預言機: 對於具有層次結構的搜尋問題，可以考慮使用分層式的部分預言機。在每一層，可以使用不同的部分預言機來約束搜尋空間，並使用更精確的模型狀態來表示中間結果。

混合式搜尋策略: 可以將部分預言機演算法與其他搜尋策略相結合，例如量子行走 (quantum walk) 或模擬退火 (simulated annealing) 等。這可以利用不同演算法的優勢來解決更廣泛的搜尋問題。

總之，將部分預言機演算法應用於複雜搜尋問題需要更深入地研究如何有效地建模中間狀態，以及如何將其與其他技術相結合。

是否存在其他類型的搜尋問題，其中部分預言機演算法比傳統 Grover 演算法具有顯著的效能優勢？

除了文中提到的"擾碼器"範例，部分預言機演算法在以下類型的搜尋問題中也可能比傳統 Grover 演算法更具優勢：

結構化資料搜尋: 對於具有特定結構的資料，例如圖資料、樹資料或資料庫，可以利用其結構資訊來設計更有效的部分預言機。例如，在圖資料中，可以使用與節點度數或邊緣類型相關的資訊作為部分預言機的輸入。

約束滿足問題: 許多實際問題可以被轉化為約束滿足問題 (CSP)，例如時間安排、資源分配和密碼分析等。部分預言機可以用於檢查部分約束是否滿足，從而加速搜尋滿足所有約束的解。

機器學習中的超參數優化: 在機器學習中，超參數優化是尋找最佳模型參數的過程。可以使用部分預言機來評估模型在部分資料集上的效能，並根據評估結果來調整搜尋方向，從而更快地找到最佳參數。

量子化學和材料科學: 在量子化學和材料科學中，尋找具有特定性質的分子或材料是一個重要的搜尋問題。可以使用部分預言機來評估分子或材料的某些性質，例如能級、穩定性和反應活性等，並根據評估結果來指導搜尋過程。

總之，部分預言機演算法在許多搜尋問題中都具有潛在的應用價值，特別是那些可以利用資料結構、約束條件或問題特性來設計更有效的部分預言機的問題。

如果我們將量子計算與其他計算範式（例如機器學習）相結合，是否可以開發出更強大的搜尋演算法？

將量子計算與其他計算範式結合，例如機器學習，確實具有開發更強大搜尋演算法的巨大潛力。以下列舉一些可能的研究方向：

量子機器學習輔助搜尋: 可以使用量子機器學習演算法來學習搜尋空間的結構和特徵，並利用這些資訊來指導量子搜尋演算法。例如，可以使用量子支持向量機 (QSVM) 或量子神經網路 (QNN) 來學習資料的分佈，並使用學習到的模型來設計更有效的預言機或模型狀態。

變分量子演算法用於搜尋: 變分量子演算法 (VQE) 是一種混合量子-經典演算法，可以利用經典計算機來優化量子電路的參數。可以將 VQE 應用於搜尋問題，例如使用 VQE 來優化 Grover 演算法中的旋轉角度或部分預言機的參數，從而提高搜尋效率。

量子強化學習用於搜尋: 量子強化學習 (QRL) 是一種結合了量子計算和強化學習的技術，可以讓智慧體在與環境互動的過程中學習最佳策略。可以將 QRL 應用於搜尋問題，例如讓智慧體學習如何在複雜的搜尋空間中找到目標狀態。

量子啟發式演算法: 可以將量子計算的原理應用於經典啟發式演算法，例如遺傳演算法、模擬退火和粒子群優化等，開發出更強大的量子啟發式演算法。這些演算法可以利用量子計算的特性，例如疊加和糾纏，來探索更大的搜尋空間，並更快地找到更好的解。

總之，量子計算與機器學習等其他計算範式的結合為開發更強大的搜尋演算法提供了廣闊的空間。隨著量子計算技術的發展和應用，我們可以預見更多創新性的量子搜尋演算法將會出現，並為解決複雜的科學和工程問題提供新的途徑。