基於矩陣乘積算符的區塊編碼：一種用於量子特徵值轉換的有效技術及其應用

核心概念

本文提出了一種基於矩陣乘積算符 (MPO) 表示對量子哈密頓量進行區塊編碼的新方法，並探討了其在量子特徵值轉換中的應用，分析了其計算成本和相對於線性酉算符組合 (LCU) 技術的優缺點。

摘要

概述

本文介紹了一種基於矩陣乘積算符 (MPO) 的量子哈密頓量區塊編碼新方法，並探討了其在量子特徵值轉換 (QET) 中的應用。

MPO 與區塊編碼

• MPO 是一種用於表示量子多體系統中算符的有效方法，尤其適用於一維系統。
• 區塊編碼是一種將哈密頓量嵌入到更大酉算符中的技術，是 QET 的關鍵步驟。
• 本文提出的方法將每個 MPO 張量編碼為維度為 D+2 的更大酉算符，其中 D 與虛擬鍵維度 χ 成對數關係。

電路實現與成本分析

• 文章詳細介紹了基於 MPO 的區塊編碼電路實現，並分析了其計算成本。
• 與 LCU 技術相比，MPO 方法在某些情況下（例如指數衰減 XY 模型）具有更低的門分解成本，但在漸近極限下可能會出現較低的後選擇成功機率。

應用

• 文章探討了 MPO 區塊編碼在伊辛模型、海森堡模型、指數衰減 XY 模型和無自旋費米-哈伯德模型中的應用。
• 此外，文章還展示了如何使用該方法對泡利矩陣的張量積和進行特徵態濾波。

優缺點

• 優點：在某些情況下具有較低的門分解成本，適用於多種量子系統。
• 缺點：後選擇成功機率可能較低，需要較多的輔助量子位元。

總結

基於 MPO 的區塊編碼是一種有前景的量子算法技術，在某些情況下可以提高計算效率。 然而，後選擇成本和輔助量子位元需求是需要進一步研究的課題。

統計資料

對於 L 個位置的系統，該方法總共需要 L+D 個輔助量子位元，其中 D 是與 MPO 虛擬鍵維度 χ 成對數關係的量子位元數。
MPO 電路的門分解成本與系統大小呈線性關係，與虛擬鍵維度呈平方關係，即 O(L · χ2)。
LCU 方法的成本取決於組成哈密頓量的酉算符數量 (M)，在最壞情況下，M 與系統大小呈指數關係，即 M = O(4L)。
對於具有恆定虛擬鍵維度 χ 的伊辛模型和海森堡模型，相應的 MPO 區塊編碼僅與 L 呈線性關係。

引述

"The bottleneck of the entire operation is typically constituted by block encoding and, in recent years, several problem-specific techniques have been introduced to overcome this problem."
"Within this framework, we present a procedure to block-encode a Hamiltonian based on its matrix product operator (MPO) representation."
"Our method uses unitary dilations of the individual MPO tensors."
"Our approach achieves a block encoding with a number of one- and two-qubit gates scaling only linearly with the system size L and quadratically with the virtual bond dimension χ of the MPO, while the number of ancillary qubits scales like the sum of L and log(χ)."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Block encoding of matrix product operators

by Martina Nibb... 於 arxiv.org 10-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.08861.pdf

深入探究

除了量子特徵值轉換，這種基於 MPO 的區塊編碼方法還可以用於哪些其他量子算法？

除了量子特徵值轉換 (QET) 之外，這種基於矩陣乘積算符 (MPO) 的區塊編碼方法還可以用於許多其他的量子算法，特別是那些需要對量子態或算符進行高效表示和操作的算法。以下列舉幾個例子：

量子態製備： MPO 可以高效地表示某些類型的量子態，例如低糾纏熵的態。通過使用基於 MPO 的區塊編碼，可以設計出高效的量子電路來製備這些態。
量子相位估計 (QPE)： QPE 是一種用於估計酉算符特徵值的基礎量子算法。基於 MPO 的區塊編碼可以用於高效地實現 QPE 中所需的受控酉算符。
量子線性系統求解 (QLSP)： QLSP 旨在求解線性方程組，其中係數矩陣由一個酉算符表示。基於 MPO 的區塊編碼可以用於高效地表示和操作 QLSP 中的係數矩陣。
量子機器學習： MPO 可以用於表示和操作量子機器學習算法中的數據和模型。基於 MPO 的區塊編碼可以促進量子機器學習算法在量子計算機上的高效實現。
總之，基於 MPO 的區塊編碼是一種通用的技術，可以用於各種量子算法，特別是那些需要對量子態或算符進行高效表示和操作的算法。

如果考慮到量子計算機的噪聲和誤差，這種區塊編碼方法的性能會如何變化？

在考慮到量子計算機的噪聲和誤差時，所有量子算法的性能都會受到影響，基於 MPO 的區塊編碼也不例外。以下是一些可能影響其性能的因素：

門保真度： 量子門的保真度會影響區塊編碼的準確性。門保真度越低，引入的誤差就越大。
量子位相干性： 量子位的相干時間會限制算法的運行時間。如果相干時間太短，區塊編碼過程中的信息可能會丟失。
測量誤差： 量子位的測量結果可能會出現誤差，從而影響區塊編碼的結果。
為了減輕噪聲和誤差的影響，可以採用以下策略：

量子錯誤校正 (QEC)： QEC 技術可以用於檢測和校正量子計算過程中的錯誤。
容錯量子計算： 容錯量子計算旨在設計對噪聲和誤差具有魯棒性的量子算法。
量子模擬： 在經典計算機上對量子算法進行模擬，可以幫助我們理解噪聲和誤差對算法性能的影響。
對於基於 MPO 的區塊編碼，可以通過以下方式提高其對噪聲和誤差的魯棒性：

優化 MPO 表示： 選擇合適的 MPO 表示方法和參數可以減少區塊編碼所需的量子門數量，從而降低誤差。
設計容錯區塊編碼電路： 可以使用容錯量子計算技術來設計對噪聲和誤差具有魯棒性的區塊編碼電路。
總之，雖然噪聲和誤差會影響基於 MPO 的區塊編碼的性能，但通過採用適當的策略，可以減輕這些影響並提高算法的魯棒性。

如何將這種基於 MPO 的區塊編碼方法推廣到更高維度的量子系統？

將基於 MPO 的區塊編碼方法推廣到更高維度的量子系統需要克服一些挑戰，但也是有可能實現的。以下是一些可能的策略：

使用高階張量網絡： MPO 是一維張量網絡，可以用於表示一維量子系統。對於更高維度的系統，可以使用高階張量網絡，例如投影糾纏對態 (PEPS) 或多尺度糾纏重整化擬設態 (MERA)。
將高維系統映射到一維系統： 可以使用一些技術將高維量子系統映射到一維系統，例如蛇形排列。然後，可以使用基於 MPO 的區塊編碼方法對映射後的一維系統進行編碼。
開發新的區塊編碼方法： 可以針對高維量子系統開發新的區塊編碼方法，例如基於量子遊走的區塊編碼。
以下是一些需要考慮的具體問題：

張量網絡的複雜度： 高階張量網絡的複雜度通常比 MPO 高得多，這會增加區塊編碼的成本。
映射的效率： 將高維系統映射到一維系統可能會導致信息損失或效率低下。
新的區塊編碼方法的設計： 設計高效且對噪聲和誤差具有魯棒性的新的區塊編碼方法是一個挑戰。
總之，將基於 MPO 的區塊編碼方法推廣到更高維度的量子系統是一個活躍的研究領域，需要克服一些挑戰。然而，通過採用適當的策略，我們有望在未來實現這一目標。