帕拉蒂尼作用量的漸近量子化及其與愛因斯坦-希爾伯特引力的關係

核心概念

本文探討了帕拉蒂尼作用量的漸近量子化，並認為它與愛因斯坦-希爾伯特引力並不等效。作者認為，在帕拉蒂尼方法中，規範律代取代了微分同胚的代數，並且無法用具有正確代數關係的算子來實現微分同胚。

摘要

帕拉蒂尼作用量的漸近量子化

本文探討了帕拉蒂尼作用量的漸近量子化，特別關注於規範律和微分同胚的處理。作者指出，在帕拉蒂尼方法中，洛倫茲群被規範化，並使用向量值的一形式或框架和 R4 上的 SL(2, C) 聯絡。

高斯定律的處理

作者首先討論了高斯定律的處理，並指出量子算子作用於複希爾伯特空間，而 SL(2, C) 只是用於 Ashtekar 變量的自對偶 (1/2, 0) 表示中緊緻 SU(2) 的複化。這導致了對小規範變換和大規範變換以及超選擇區的處理。作者還展示了 theta 真空的顯式表示及其伴隨的「自旋-同旋混合」。

字串局部場

為了處理張量場不滿足高斯定律條件的問題，作者引入了字串局部場的概念。通過使用狄拉克-威爾遜線，可以使自旋場等場對小規範變換免疫。

Theta 真空

作者接著討論了帕拉蒂尼引力中的 theta 真空，並指出它們產生了 QCD 中的超選擇區。作者使用 Skyrme 模型的捲曲數為 1 的手性孤子構造了一個大規範變換的生成元，並表明旋轉生成元與該生成元不對易，因此自發破缺。

局部可觀測量

最後，作者討論了引力中的局部可觀測量，並質疑它們是否可以影響線 x + τe。作者指出，在量子場論中，不可能對局部場進行局部測量，並且在量子引力中也是如此。

與愛因斯坦-希爾伯特引力的關係

作者認為，帕拉蒂尼引力似乎不等效於愛因斯坦-希爾伯特引力。在規範群的 (1/2, 0) 公式中，SU(2) 聯絡在「複化」後給出了 SL(2, C) 聯絡。這種複化是自動的，因為當在 R3 切片上進行量子化時，聯絡是複希爾伯特空間上的算子。微分同胚改變了 e 的方向，但它仍然是類空間的。因此，希爾伯特空間量子化似乎是可能的，就像在雙色 QCD 中一樣。

主要結論

• 帕拉蒂尼引力似乎不等效於愛因斯坦-希爾伯特引力。
• 泛型微分同胚會自發破缺。
• QCD theta 真空可以適應量子引力。
• 帕拉蒂尼作用量不包含度量，因此「可逆性」的概念在量子理論中並不清楚。
• 規範律代取代了微分同胚的代數，並且無法用具有正確代數關係的算子來實現微分同胚。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Asymptotic Quantization of Palatini Action

by A.P.Balachan... 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.11078.pdf

深入探究

如何更嚴謹地證明帕拉蒂尼引力與愛因斯坦-希爾伯特引力不等效？

要更嚴謹地證明帕拉蒂尼引力與愛因斯坦-希爾伯特引力不等效，可以從以下幾個方面著手：

非可逆標架場： 如文中所述，經典情況下，僅當標架場處處可逆時，帕拉蒂尼作用量才能簡化為愛因斯坦-希爾伯特作用量。因此，需要尋找並分析存在非可逆標架場的具體例子，並證明在這些情況下，兩種理論會給出不同的物理預測。這可以通過研究 Kaul 和 Sengupta 提出的新物理模型 [13,16] 來實現，他們的研究表明，非可逆標架場會導致與愛因斯坦-希爾伯特引力不同的結果。
量子態與表象： 在量子理論中，場的性質由量子態及其通過 GNS 構造的表象決定。需要仔細研究帕拉蒂尼引力中的量子態空間和算符代數，並與愛因斯坦-希爾伯特引力中的相應結構進行比較。如果能夠證明兩種理論的量子態空間或算符代數存在本质区别，則可以證明它們是不等效的。
微分同胚約束： 愛因斯坦-希爾伯特引力具有微分同胚不變性，而帕拉蒂尼引力中微分同胚的量子化存在問題。可以嘗試更深入地理解帕拉蒂尼引力中的微分同胚約束，並探討是否存在一種自洽的量子化方案。如果無法找到這樣的方案，或者該方案與愛因斯坦-希爾伯特引力中的微分同胚約束存在顯著差異，則可以作為兩種理論不等效的證據。

是否存在其他方法可以解決帕拉蒂尼引力中微分同胚的量子化問題？

除了文中提到的方法，還有一些其他的途徑可能有助於解決帕拉蒂尼引力中微分同胚的量子化問題：

迴圈量子引力方法： 可以嘗試借鑒迴圈量子引力的方法，將空間量子化為自旋網路，並在此基礎上研究微分同胚的量子化。迴圈量子引力在處理微分同胚約束方面取得了一定的成功，其經驗或許可以應用於帕拉蒂尼引力。
群表示論： 微分同胚群是一個無限維李群，可以嘗試利用群表示論的方法來研究其量子化。具體而言，可以尋找微分同胚群的酉表示，並構造相應的量子態空間和算符代數。
修正引力理論： 可以考慮對帕拉蒂尼引力進行修正，使其更容易實現微分同胚的量子化。例如，可以引入新的場或修改作用量，以消除量子化過程中出現的問題。

需要強調的是，這些方法都存在一定的挑戰，目前尚不清楚哪種方法能夠最終解決帕拉蒂尼引力中微分同胚的量子化問題。

帕拉蒂尼引力中的 theta 真空對量子引力的物理含義是什麼？

帕拉蒂尼引力中的 theta 真空態具有以下重要的物理含義：

超選擇律和自旋統計關係： theta 真空態的存在導致了量子引力中的超選擇律，不同的 theta 值對應不同的超選擇區。這意味著，不同超選擇區中的物理態無法通過任何物理過程相互轉化。此外，theta 真空態還與自旋和統計之間的關係密切相關，如同文中提到的 "自旋從同位旋" 現象 [10, 11]。
時空拓撲和量子漲落： theta 真空態對應於具有不同拓撲性質的時空。在量子引力中，時空本身也具有量子漲落，theta 真空態的出現暗示著時空拓撲的量子漲落。
宇宙學常數問題： theta 真空態的能量密度與宇宙學常數有關。通過研究 theta 真空態的性質，或許可以對宇宙學常數問題有更深入的理解。

總而言之，帕拉蒂尼引力中的 theta 真空態揭示了量子引力中的一些重要物理現象，例如超選擇律、自旋統計關係、時空拓撲的量子漲落以及宇宙學常數問題。對 theta 真空態的深入研究有助於我們更好地理解量子引力的本质。