核心概念
수정된 힐버트 변환 HT는 원래의 힐버트 변환 H를 특정한 주기적 확장 함수에 적용한 것과 동일하다.
摘要
이 논문에서는 최근에 소개된 수정된 힐버트 변환 HT와 원래의 힐버트 변환 H 사이의 관계를 밝힌다. 구체적으로 HT φ = -He
φ 라는 관계를 증명한다. 여기서 e
φ는 φ의 특정한 주기적 확장 함수이다.
이를 통해 HT의 다음과 같은 특성들이 도출된다:
- 역변환 공식: H(HT φ) = φ
- 대안 공식: HT φ = -1/(2T) ∫_0^T φ(s) sin(πs/(2T)) / (cos^2(πs/(2T)) - cos^2(πt/(2T))) ds
- 적분 표현: HT φ(t) = -1/π ∫_0^T ∂_t e
φ(s) log(sin(π|t-s|/4T)) ds - 2/π φ(0) log(tan(πt/4T))
이러한 결과들은 HT의 특성을 잘 보여주며, 수치 계산 등에 활용될 수 있다.