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核心概念
本文證明了在大部分情況下，基於強指數時間假設 (SETH) 的確定性歸約無法排除全對最大流動問題存在 O(n⁴⁻ε) 時間算法的可能性，其中 ε 是一個小常數。
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(Almost) Ruling Out SETH Lower Bounds for All-Pairs Max-Flow
本文探討了全對最大流動問題的時間複雜度，針對不同類型的圖（有向圖或無向圖、邊容量或節點容量、單位容量或任意容量）提供新的算法、條件下限和不可約性結果。
主要研究成果
針對無向圖單位節點容量設計了一種新的拉斯維加斯隨機算法。 該算法的時間複雜度為 Õ(m²⁺ᵒ⁽¹⁾)，改進了 Huang 等人 (STOC 2023) 提出的 Õ(m¹¹/⁵⁺ᵒ⁽¹⁾) 時間蒙特卡洛算法，並與其 m²⁻ᵒ⁽¹⁾ 的時間下限相匹配，從而基本上解決了此類問題的時間複雜度。
證明了在非確定性強指數時間假設 (NSETH) 下，對於大多數全對最大流動問題，基於 SETH 的確定性歸約無法排除 O(n⁴⁻ε) 時間算法的可能性。
針對無向圖單位節點容量，證明了在 NSETH 下，不存在確定性精細歸約可以證明 Ω(n^(ω(log n m, 1, 1) + ε)) 的 SETH 下限。
針對有向圖一般節點容量，證明了在 NSETH 下，不存在確定性精細歸約可以證明 Ω(n^(ω(2, 1, 1) + ε)) 的 SETH 下限。
針對有向圖單位邊容量，證明了在 NSETH 下，不存在確定性精細歸約可以證明 Ω(n⁵/²⁺ε√(m) + n^(ω(2, 1, 1) + ε')) 的 SETH 下限。
論文貢獻
提出一種新的拉斯維加斯隨機算法，解決了無向圖單位節點容量的全對最大流動問題的時間複雜度。
證明了在 NSETH 假設下，基於 SETH 的確定性歸約無法為大多數全對最大流動問題建立 n⁴⁻ᵒ⁽¹⁾ 的時間下限。
為不同類型的全對最大流動問題設計了次四次非確定性算法。
未來研究方向
探討非確定性算法在其他相關領域的應用。
研究更有效的算法來解決全對最大流動問題，特別是針對有向圖一般邊容量的情況。
統計資料
深入探究
除了 SETH 之外，還有哪些其他的計算複雜度假設可以用於研究全對最大流動問題的下限？
除了強指數時間假設 (SETH) 之外，還有其他計算複雜度假設可以用於研究全對最大流動問題的下限，以下列舉幾項：
k-SUM 假設: k-SUM 問題是指判斷一個給定的 n 個數的集合中是否存在 k 個數的和為 0。k-SUM 假設斷言對於任何常數 k ≥ 3，k-SUM 問題無法在 O(n^(k-ε)) 時間內解決，其中 ε > 0。
矩陣乘法假設: 這個假設斷言兩個 n x n 的矩陣無法在 O(n^(2-ε)) 時間內相乘，其中 ε > 0。
圖漢明距離假設: 這個假設斷言無法在 O(n^(2-ε)) 時間內計算出 n 個點的圖中所有點對之間的漢明距離，其中 ε > 0。
APSP 假設: 全對最短路徑問題 (APSP) 假設斷言無法在 O(n^(3-ε)) 時間內計算出一個有向圖中所有點對之間的最短路徑，其中 ε > 0。
這些假設之間存在著一些關聯，例如，矩陣乘法假設可以推导出 APSP 假設。然而，這些假設的確切關係以及它們是否可以被用來證明全對最大流動問題的更強下限仍然是開放性問題。
如果 NSETH 被證明是錯誤的，是否意味著基於 SETH 的確定性歸約可以排除 O(n⁴⁻ε) 時間算法的可能性？
不，即使 NSETH 被證明是錯誤的，也不一定意味著基於 SETH 的確定性歸約可以排除 O(n⁴⁻ε) 時間算法的可能性。
NSETH 的錯誤只意味著存在比確定性算法更快的協同非確定性算法來解決 SETH 問題。然而，這並不排除以下可能性：
存在其他方法可以基於 SETH 證明 O(n⁴⁻ε) 時間的下限。 例如，可以使用更精巧的歸約技術，或者可以利用 SETH 的其他變體。
可以使用其他計算複雜度假設來證明 O(n⁴⁻ε) 時間的下限。 如上個問題所述，還有其他假設可以用於研究全對最大流動問題的下限。
因此，即使 NSETH 被證明是錯誤的，我們仍然需要進一步的研究來確定是否可以排除 O(n⁴⁻ε) 時間算法的可能性。
全對最大流動問題的非確定性算法的設計思路是否可以應用於其他圖論問題？
是的，全對最大流動問題的非確定性算法的設計思路可以應用於其他圖論問題。其核心思想是：
猜測解的結構： 非確定性算法可以猜測解的部分或全部信息，例如最小割的大小、最小割中包含的邊或點、最大流的流量值等。
快速驗證猜測： 利用圖的性質和問題的特殊結構，設計高效的算法來驗證猜測的正確性。例如，可以使用矩陣乘法、動態規劃、數據結構等技術。
這種設計思路可以應用於其他需要尋找圖中特定結構或計算圖的特定屬性的問題，例如：
最小割： 可以猜測最小割的大小和包含的邊，然後驗證圖的連通性。
最小生成樹： 可以猜測最小生成樹的邊權重之和，然後驗證圖的連通性和邊權重之和的最小性。
最短路徑： 可以猜測最短路徑的長度和路徑上的點，然後驗證路徑的連通性和長度的最小性。
需要注意的是，非確定性算法的设计需要巧妙地利用问题的特性，才能实现高效的验证过程。
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