循環置換圖和置換史納克圖的生成

核心概念

本文提出了一種演算法，可以有效地生成所有非同構的循環置換圖，包括哈密頓圖和非哈密頓圖，並藉此生成置換史納克圖，進而回答了圖論中關於循環置換圖的哈密頓性以及最小非哈密頓循環置換圖的階數等開放性問題。

摘要

循環置換圖和置換史納克圖的生成

這篇研究論文旨在開發高效的演算法，用於生成所有非同構的循環置換圖，包括哈密頓圖和非哈密頓圖，並藉此生成置換史納克圖。研究目標包括回答圖論中關於循環置換圖的哈密頓性以及最小非哈密頓循環置換圖的階數等開放性問題。

研究提出了兩種專門用於窮盡生成給定階數的所有非同構循環置換圖的演算法。第一種演算法採用規範構造路徑法，確保不會輸出同構圖；第二種演算法基於有序生成法，速度更快，但只能處理一些最常見的同構圖。兩種演算法都經過擴展，可以有效地限制搜索範圍，例如生成非哈密頓循環置換圖或具有給定最小圍長的圖。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Generation of Cycle Permutation Graphs and Permutation Snarks

by Jan Goedgebe... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12606.pdf

深入探究

除了循環置換圖，還有哪些圖類也具有類似的哈密頓性質？

除了循環置換圖，還有許多其他圖類也具有類似的哈密頓性質，以下列舉幾種：

廣義稜柱圖 (Generalized Prism Graphs): 循環置換圖可以視為廣義稜柱圖的一種特殊情況。廣義稜柱圖是由兩個相同大小的循環圖，通過將對應頂點連接起來而形成的。與循環置換圖類似，廣義稜柱圖的哈密頓性也與其構成循環的大小和連接方式有關。
凱利圖 (Cayley Graphs): 凱利圖是由群論中的群構造而成的圖。某些凱利圖，例如循環圖和超立方體圖，都具有哈密頓迴路。凱利圖的哈密頓性與其對應群的性質密切相關。
線圖 (Line Graphs): 線圖是將一個圖的邊轉換為頂點，並將相鄰的邊連接起來而形成的圖。某些圖的線圖，例如完全圖和完全二分圖的線圖，都具有哈密頓迴路。
超立方體圖 (Hypercube Graphs): 超立方體圖是一種正則圖，其頂點可以用二進制數表示，且兩個頂點相鄰當且僅當它們的二進制表示只有一位不同。超立方體圖具有哈密頓迴路，並且是許多互連網路的基礎拓撲結構。
這些圖類的哈密頓性質都與其結構密切相關，並且有許多相關的研究探討其哈密頓性的充分條件和必要條件。

如果我們放寬對循環置換圖的定義，允許兩個循環之間存在多條邊，那麼我們是否可以找到更小的非哈密頓圖或史納克圖？

如果放寬循環置換圖的定義，允許兩個循環之間存在多條邊，那麼我們確實有可能找到更小的非哈密頓圖或史納克圖。

非哈密頓圖: 允許兩個循環之間存在多條邊後，我們可以通過添加邊來破壞原有循環置換圖的哈密頓性。例如，在兩個循環的同一個位置添加兩條邊，就可以阻止任何哈密頓迴路通過這兩個頂點。
史納克圖: 史納克圖的定義要求其為非 3-邊可著色的立方圖。放寬循環置換圖的定義後，我們可以通過添加邊來構造新的史納克圖。例如，可以從一個已知的史納克圖出發，通過在其兩個循環之間添加邊來構造新的史納克圖。
然而，找到這些更小的非哈密頓圖或史納克圖並不容易。這是因為圖的哈密頓性和 3-邊可著色性都與圖的結構密切相關，並且沒有簡單的方法可以判斷一個圖是否具有這些性質。

這項研究中開發的演算法能否應用於解決其他圖論問題，例如圖著色或圖同構問題？

這項研究中開發的演算法主要基於循環置換圖的特殊結構，例如其兩個循環和連接方式。雖然這些演算法不能直接應用於解決其他圖論問題，例如圖著色或圖同構問題，但其背後的思想和方法可以為解決其他問題提供借鑒。

圖著色: 這項研究中使用的回溯法和剪枝策略可以用於圖著色問題。例如，可以利用圖的結構特徵來設計剪枝規則，以減少搜索空間。
圖同構: 這項研究中使用的規範構造路徑法和有序生成法可以用於圖同構問題。例如，可以利用圖的不變量來設計規範標籤，以加速同構檢測。
此外，這項研究中開發的演算法可以與其他圖論演算法結合使用，以解決更複雜的問題。例如，可以先使用循環置換圖生成演算法生成一組候選圖，然後再使用其他演算法對這些圖進行分析和處理。