核心概念
NP 완전 그래프 문제인 메트릭 차원, 강 메트릭 차원, 지오데틱 집합이 트리 폭 또는 정점 커버에 대해 이중 지수 하한을 가진다는 것을 보여준다.
摘要
이 논문은 NP 완전 그래프 문제인 메트릭 차원, 강 메트릭 차원, 지오데틱 집합이 트리 폭 또는 정점 커버에 대해 이중 지수 하한을 가진다는 것을 보여준다.
메트릭 차원 문제는 그래프의 정점들을 거리 정보를 이용하여 구분하는 것이 목표이다. 강 메트릭 차원 문제는 각 정점이 해결 집합의 정점들 사이의 최단 경로 상에 있도록 하는 것이 목표이다. 지오데틱 집합 문제는 모든 정점이 해결 집합의 정점들 사이의 최단 경로 상에 있도록 하는 것이 목표이다.
저자들은 이 세 문제에 대해 트리 폭 또는 정점 커버에 대한 이중 지수 하한을 증명하였다. 이는 이러한 문제들이 구조적 매개변수에 대해 매우 어려운 문제임을 보여준다. 또한 저자들은 이러한 하한과 일치하는 알고리즘을 제시하였다.
저자들의 핵심 기술은 Sperner 집합 족을 이용하여 SAT 관계를 작은 정점 분리기를 통해 인코딩하는 것이다. 이를 통해 NP 문제에서도 이중 지수 하한을 얻을 수 있음을 보여준다.
統計資料
메트릭 차원 문제는 트리 폭 또는 지름에 대해 2^(o(tw)) · n^O(1) 시간 내에 해결될 수 없다.
지오데틱 집합 문제는 트리 폭 또는 지름에 대해 2^(o(tw)) · n^O(1) 시간 내에 해결될 수 없다.
강 메트릭 차원 문제는 정점 커버에 대해 2^(o(vc)) · n^O(1) 시간 내에 해결될 수 없다.
引述
"Unless the ETH fails, Metric Dimension does not admit an algorithm running in time 2^(f(diam)o(tw)) · n^O(1) for any computable function f: N → N."
"Unless the ETH fails, Geodetic Set does not admit an algorithm running in time 2^(f(diam)o(tw)) · n^O(1) for any computable function f: N → N."
"Unless the ETH fails, Strong Metric Dimension does not admit an algorithm running in time 2^(2^o(vc)) · n^O(1)."