S-諾特環和 S-凝聚環的一些新的模論刻畫

核心概念

本文利用 S-絕對純模的概念，為 S-諾特環和 S-凝聚環提供了新的模論刻畫。

摘要

標題：S-諾特環和 S-凝聚環的一些新的模論刻畫
作者：張曉蕾
單位：山東理工大學數學與統計學院
發表日期：2024 年 11 月 21 日

本研究旨在利用 S-絕對純模的概念，為 S-諾特環和 S-凝聚環提供新的模論刻畫。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Some new module-theoretic characterizations of $S$-Noetherian rings and $S$-coherent rings

by Xiaolei Zhan... 於 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14142.pdf

深入探究

如何將 S-絕對純模的概念推廣到非交換環上？

將 S-絕對純模的概念推廣到非交換環上需要謹慎處理，因為在非交換環中，左右模的性質可能不同。以下是一些可能的推廣方向：

區分左右模： 可以分別定義左 S-絕對純模和右 S-絕對純模。一個左 R-模 M 被稱為左 S-絕對純模，如果對於任何有限表現的左 R-模 N，存在 s ∈ S 使得 sExt1R(N, M) = 0。右 S-絕對純模的定義類似。

使用雙模： 可以利用雙模的概念來定義 S-絕對純模。一個 R-S 雙模 M 被稱為 S-絕對純模，如果對於任何有限表現的 R-S 雙模 N，存在 s ∈ S 使得 sExt1R-S(N, M) = 0。

考慮單邊理想： 在定義 S-絕對純模時，可以將有限生成的理想替換為有限生成的左理想或右理想。

需要注意的是，這些推廣方法可能會導致不同的結果，具體取決於所研究的非交換環的性質。

是否存在其他模論性質可以用來刻畫 S-諾特環和 S-凝聚環？

除了 S-絕對純模，還有一些其他的模論性質可以用來刻畫 S-諾特環和 S-凝聚環：
刻畫 S-諾特環：

S-內射包絡： 一個環 R 是 S-諾特環，當且僅當每個 R-模都有 S-內射包絡。
S-平坦模的直積： 一個環 R 是 S-諾特環，當且僅當任意個 S-平坦 R-模的直積仍然是 S-平坦模。
刻畫 S-凝聚環：

S-平坦模的正向極限： 一個環 R 是 S-凝聚環，當且僅當 S-平坦 R-模的正向極限是 S-平坦模。
S-有限表現模的純子模： 一個環 R 是 S-凝聚環，當且僅當每個 S-有限表現模的純子模也是 S-有限表現模。

S-絕對純模的概念在其他數學分支中有什麼應用？

S-絕對純模的概念作為經典絕對純模的推廣，在模論及相關領域有著潛在的應用價值。以下列舉一些可能的應用方向：

非交換環論: S-絕對純模可以被用於研究非交換環的模結構，特別是那些具有特殊性質的乘法子集的環。
同調代數: S-絕對純模可以被用於研究模範疇的同調性質，例如計算 Ext 群和 Tor 群。
表示論: S-絕對純模可以被用於研究代數結構的表示，例如群表示和代數表示。
需要進一步的研究來探索 S-絕對純模在這些領域的具體應用。