テンソル、群、多項式の同型問題の複雑性IV: 線形長さの縮小と応用

核心概念

テンソル同型問題に対して、従来の二次長さの縮小から線形長さの縮小への改善を示し、それが群同型問題やキュービック形式の同値性問題などの複雑性の改善につながることを示した。

摘要

本論文では、テンソル同型問題(TI)に対して、従来の二次長さの縮小から線形長さの縮小への改善を示した。具体的には以下の結果を得た:

1. グラフ同型問題がP問題であれば、n変数上のキュービック形式の同値性問題とn次元代数の同型問題は、ともにqO(n)時間で解くことができる。これは、ブルートフォース法のqO(n2)時間より改善される。

2. 指数p、クラスcの p-群の同型問題を、指数p、クラス2のp-群の同型問題に多項式時間で縮小できることを示した。これにより、Sun [STOC '23]のアルゴリズムの適用範囲が広がり、クラスcのp-群の同型問題をÑO((log N)1/2)時間で解くことができる。

3. 指数p、クラス2のp-群の同型問題に対して、Cayley表の下で多項式時間の探索-決定縮小と計数-決定縮小を示した。これは、Arvind and Tóran [EATCS, 2005]の問題に対する解答となる。

これらの結果は、テンソル同型問題に対する新しい線形長さの縮小ガジェットの構築に基づいている。このガジェットは、従来の二次長さの縮小ガジェットよりも構造が単純で組み合わせやすく、様々な応用につながっている。

統計資料

グラフ同型問題がP問題であれば、n変数上のキュービック形式の同値性問題をqO(n)時間で解くことができる。
指数p、クラスcのp-群の同型問題を、指数p、クラス2のp-群の同型問題に多項式時間で縮小できる。
指数p、クラス2のp-群の同型問題に対して、Cayley表の下で多項式時間の探索-決定縮小と計数-決定縮小が可能である。

引述

なし

從以下內容提煉的關鍵洞見

On the complexity of isomorphism problems for tensors, groups, and polynomials IV: linear-length reductions and their applications

by Joshua A. Gr... 於 arxiv.org 04-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.16317.pdf

深入探究

グラフ同型問題がP問題であれば、他にどのような代数的同型問題の複雑性が改善されるだろうか?

グラフ同型問題がP問題である場合、他の代数的同型問題にも同様の改善が期待されます。具体的には、立方体形式の同値性やFq上のn変数の立方体形式同値性などの問題が、現在のqO(n2)の上限からqO(n)の時間で解決できるようになるでしょう。これにより、代数的構造の同型性をテストする際の計算効率が向上し、より効率的なアルゴリズムが実現されることが期待されます。

指数p、クラスcのp-群の同型問題を、クラス2以外のp-群の同型問題に縮小することはできるだろうか?

指数p、クラスcのp-群の同型問題をクラス2のp-群の同型問題に縮小することは可能です。具体的には、p-群の同型問題をクラス2のp-群の同型問題に縮小するための新しいテンソルガジェットを使用することで、問題の複雑性を線形長さで縮小することができます。このアプローチにより、クラスcよりもクラス2のp-群の同型問題を解決するアルゴリズムが可能となります。

テンソル同型問題に対する線形長さの縮小ガジェットの構造は、他の同型問題にも応用できるだろうか?

テンソル同型問題に対する線形長さの縮小ガジェットは、他の同型問題にも応用可能です。このガジェットの設計原則やアイデアは、他の代数的同型問題や群同型問題などの問題にも適用できます。特に、代数的構造の同型性をテストする際に、線形長さの縮小ガジェットを使用することで、問題の複雑性を効果的に縮小し、計算効率を向上させることができます。そのため、このガジェットの構造やアプローチは、幅広い同型問題に適用可能であり、さまざまな複雑性の問題に革新的な解決策を提供する可能性があります。