本文主要研究了正特徵下具有數值上平凡正則除數的不規則三維空間的結構。
首先,作者介紹了之前在複數域上對具有數值上平凡正則除數的空間的分類結果。對於一個具有數值上平凡正則除數的空間X,其阿爾巴尼亞映射aX: X→A根據aX(X)的維度是2, 1或0,分別對應於X是同構於一個阿爾巴尼亞簇、有一個到橢圓曲線的橢圓纖維化,或是一個平凡映射。當aX(X)的維度是1時,X還具有另一個到P1的橢圓纖維化,因此X有一個所謂的雙橢圓結構。
對於正特徵下的高維具有數值上平凡正則除數的空間,已知如果X是最大阿爾巴尼亞維度的,則X是一個阿爾巴尼亞簇的雙射。當阿爾巴尼亞像的維度介於0和維數之間時,可以將X的研究歸結到較低維的具有數值上平凡正則除數的空間的研究。
本文主要研究了阿爾巴尼亞像維度是1或X的相對維度是1的情況。作者首先構造了一個在阿爾巴尼亞映射上相對豐富的半正則除數,然後利用這個除數證明了X具有另一個與阿爾巴尼亞映射垂直的纖維化,從而得到了X的明確結構描述。
具體地,對於阿爾巴尼亞像維度是1的情況,作者利用正性引擎構造了一個相對於阿爾巴尼亞映射豐富的半正則除數。對於阿爾巴尼亞映射的相對維度是1的情況,作者分別討論了以下三種情形:
(C1) 一般纖維是光滑的,這時阿爾巴尼亞映射是同構的橢圓纖維化;
(C2) 一般纖維是非光滑但幾何上還是約化的,這時阿爾巴尼亞映射是準橢圓纖維化;
(C3) 一般纖維不是約化的,這時阿爾巴尼亞映射是不分離的。
在後兩種情形,作者利用奇異性成為優勢,構造出所需的半正則除數,從而得到了X的第二個垂直於阿爾巴尼亞映射的纖維化。
最後,作者將上述結果應用到三維空間的情形,給出了一個完整的分類。
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