核心概念
我們證明了一個積分不等式,並得到了兩個關於Kähler流形上正質量定理的穩定性結果。這個積分不等式將ADM質量從下界限定為一個涉及標量曲率和某些全息坐標函數的Hessian的積分。利用這個不等式,我們首先證明了任何ADM質量收斂到零的Kähler流形序列的穩定性結果。我們得出,對於任何這樣的序列,存在每個流形上的子集,其邊界在極限中消失,而補集在指向Gromov-Hausdorff意義下收斂到歐氏空間。這是Kähler流形上正質量定理的第一個穩定性結果,或者更一般地說,是沒有強烈曲率或體積條件的流形,或是在大於三維的實空間中的一個非常明確的度量族的穩定性結果。此外,如果我們還假設Ricci曲率有一個統一的下界,第二個穩定性定理顯示了相同的結果,而無需取補集的序列。最後,我們找到了三個新的AE Kähler流形族,其ADM質量在極限中消失,因此適用於上述穩定性結果。
摘要
本文研究了漸近歐氏(AE) Kähler流形上的正質量定理及其穩定性。主要結果如下:
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證明了一個積分不等式,將AE Kähler流形的ADM質量從下界限定為一個涉及標量曲率和某些全息坐標函數Hessian的積分。這個不等式類似於三維AE黎曼流形的結果,但在Kähler情況下更加全局化。
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利用這個積分不等式,我們證明了兩個關於Kähler流形上正質量定理的新穩定性結果:
(a) 對於任何ADM質量收斂到零的AE Kähler流形序列,存在每個流形上的子集,其邊界在極限中消失,而補集在指向Gromov-Hausdorff意義下收斂到歐氏空間。這是Kähler流形上正質量定理的第一個穩定性結果。
(b) 如果我們還假設Ricci曲率有一個統一的下界,則可以得到相同的結果,而無需取補集的序列。
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我們提供了三個新的AE Kähler度量族,其ADM質量在極限中消失,因此適用於上述穩定性結果。其中一些度量族來自於Burns度量在C^2上的平滑化,另一些則由給定的體積形式生成。所有這些度量族在Gromov-Hausdorff意義下全局收斂到(C^2, g_Eucl)。
統計資料
對於任何AE Kähler流形(X^(2m), g, J),其ADM質量m(g)可以表示為:
m(g) = -(〈♣(c_1(X)), [ω^(m-1)]〉)/(2m-1)π^(m-1) + (m-1)!/(4(2m-1)π^m) ∫_X R_g dvolg
對於任何AE Kähler流形(X^(2m), g, J),有:
|∂^k(g_ij - δ_ij)| = O(|x|^(-τ-k)),其中τ > m-1
引述
"我們證明了一個積分不等式,並得到了兩個關於Kähler流形上正質量定理的穩定性結果。"
"對於任何ADM質量收斂到零的AE Kähler流形序列,存在每個流形上的子集,其邊界在極限中消失,而補集在指向Gromov-Hausdorff意義下收斂到歐氏空間。"
"如果我們還假設Ricci曲率有一個統一的下界,則可以得到相同的結果,而無需取補集的序列。"