核心概念
Die Kernaussage dieses Artikels ist, eine leicht verständliche Notiz zu "Spezielle Themen in der Finite-Elemente-Methode" zu erstellen. Dabei werden die Eigenschaften und Leistungsfähigkeit der WOPSIP-Methode (Weakly Over-Penalised Symmetric Interior Penalty) zur Lösung der Poisson-Gleichung auf anisotropen Gittern analysiert.
摘要
Der Artikel beginnt mit den Grundlagen zur Poisson-Gleichung und den verwendeten Gittern, Funktionenräumen sowie Transformationen. Anschließend wird die WOPSIP-Methode zur Lösung der Poisson-Gleichung auf anisotropen Gittern vorgestellt. Für diese Methode werden Fehlerabschätzungen in der Energienorm und der L2-Norm hergeleitet. Die Fehlerabschätzungen zeigen, dass die WOPSIP-Methode optimale Konvergenzraten auf anisotropen Gittern erreicht. Darüber hinaus wird die Konsistenz der Methode nachgewiesen. Der Artikel schließt mit einem Vergleich der WOPSIP-Methode mit der RSIP-Methode (Residual Symmetric Interior Penalty) und der Diskussion offener Fragen.
統計資料
Die folgenden Sätze enthalten wichtige Kennzahlen oder Zahlen, die die Argumentation des Autors unterstützen:
Die Poisson-Konstante CP(Ω) hängt vom Gebiet Ω ab.
Wenn Ω konvex ist, dann gilt u ∈ H2(Ω) und |u|H2(Ω) ≤ ∥∆u∥.
Der Penalty-Parameter κF für die WOPSIP-Methode ist definiert als h^(-2) * (√ℓT1,F + √ℓT2,F)^(-2) für innere Flächen F und h^(-2) * ℓT∂,F^(-1) für Randflächen F.
Der Penalty-Parameter κF* für die RSIP-Methode ist definiert als (√ℓT1,F + √ℓT2,F)^(-2) für innere Flächen F und ℓT∂,F^(-1) für Randflächen F.
引述
Die folgenden Zitate unterstützen die Kernaussagen des Artikels:
"Für jedes v ∈ H1(Th)d und ψh ∈ P1dc,h gilt:
∫Ω IRT_h v · ∇h ψh + div IRT_h v ψh dx = ∑{F ∈ F^i_h} ∫_F {v}_ω,F · n_F Π^0_F [[ψh]]F ds + ∑{F ∈ F^∂_h} ∫F (v · n_F) Π^0_F ψh ds."
"Für jedes w ∈ H1(Ω)d und ψh ∈ P1dc,h gilt:
|∑{F ∈ F^i_h} ∫_F {w}_ω,F · n_F Π^0_F [[ψh]]_F ds| ≤ c|ψh|_jrdg ∥w∥_H1(Ω)d."