Effiziente Zeitintegration nichtlinearer Tensor-Differentialgleichungen auf niedrigrangigen Tucker-Tensor- und Tensor-Train-Mannigfaltigkeiten durch Cross-Algorithmen

核心概念

Durch den Einsatz von Cross-Algorithmen, die auf der diskreten empirischen Interpolationsmethode (DEIM) basieren, kann die Zeitintegration von nichtlinearen Tensor-Differentialgleichungen auf niedrigrangigen Tensor-Mannigfaltigkeiten effizient und robust durchgeführt werden, ohne dass eine Projektion auf den Tangentialraum erforderlich ist.

摘要

Der Artikel präsentiert einen neuartigen Algorithmus zur Zeitintegration von Tensor-Differentialgleichungen (TDEs) auf niedrigrangigen Tensor-Train- und Tucker-Tensor-Mannigfaltigkeiten. Der Algorithmus bietet mehrere Vorteile:

1. Er nutzt Cross-Algorithmen, die auf der diskreten empirischen Interpolationsmethode (DEIM) basieren, um gezielt dünn besetzte Einträge der zeitdiskreten TDEs zu abtasten, um die Lösung in niedrigrangiger Form voranzubringen. Dadurch werden nahezu optimale Einsparungen sowohl in Bezug auf den Speicherbedarf als auch auf die Gleitkommaoperationen erzielt.

2. Die Zeitintegration ist robust gegenüber kleinen oder Null-Singulärwerten.

3. Der Algorithmus ist einfach zu implementieren, da er nur die Auswertung des vollständigen Modells der TDE an strategisch ausgewählten Stellen erfordert und keine Tangentialraumprojektionen verwendet, deren effiziente Implementierung aufwendig und zeitintensiv ist.

4. Es werden hochgradige explizite Runge-Kutta-Verfahren für die Zeitintegration von TDEs auf niedrigrangigen Mannigfaltigkeiten entwickelt.

Der Algorithmus wird für mehrere Testfälle, einschließlich einer 100-dimensionalen TDE mit nichtpolynomialer Nichtlinearität, demonstriert.

統計資料

Die Anzahl der Gleitkommaoperationen (flops) des vorgeschlagenen Verfahrens skaliert für die Tensor-Train-Zerlegung mit O(dnr^2) und für die Tucker-Tensor-Zerlegung mit O(rd + nd*r^(d-1)).

引述

"Durch den Einsatz von Cross-Algorithmen, die auf der diskreten empirischen Interpolationsmethode (DEIM) basieren, kann die Zeitintegration von nichtlinearen Tensor-Differentialgleichungen auf niedrigrangigen Tensor-Mannigfaltigkeiten effizient und robust durchgeführt werden, ohne dass eine Projektion auf den Tangentialraum erforderlich ist."
"Der Algorithmus ist einfach zu implementieren, da er nur die Auswertung des vollständigen Modells der TDE an strategisch ausgewählten Stellen erfordert und keine Tangentialraumprojektionen verwendet, deren effiziente Implementierung aufwendig und zeitintensiv ist."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Cross Algorithms for Cost-Effective Time Integration of Nonlinear Tensor Differential Equations on Low-Rank Tucker Tensor and Tensor Train Manifolds

by Behzad Ghahr... 於 arxiv.org 03-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.12826.pdf

深入探究

Wie könnte der vorgestellte Algorithmus auf andere Arten von Tensor-Netzwerken wie hierarchische Tucker-Tensoren oder Tensor-Kontraktionen erweitert werden

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