核心概念
在最小正則性假設下,我們建立了二階線性橢圓方程式在 Lipschitz 域上弱解梯度的全域 BMO 空間估計。
摘要
本文研究了二階線性橢圓方程式在 Lipschitz 域上的全域正則性理論。在最小正則性假設下,我們建立了弱解梯度在 BMO 空間上的全域估計。
具體來說:
-
我們假設矩陣 A 和域 Ω 滿足最小正則性假設 (Assumption (A&Ω))。
-
對於 Neumann 問題 (1.6) 和 Dirichlet 問題 (1.8),我們證明了當右項 f 屬於 BMOr(Ω; Rn) 時,弱解的梯度 ∇u 也屬於 BMOr(Ω; Rn),並且有全域估計 (1.10)成立。
-
作為應用,我們還證明了當右項 f 屬於 Hardy 空間 H1
z(Ω; Rn) 時,弱解的梯度 ∇u 屬於 L1(Ω; Rn),並有全域估計成立。
-
對於 Robin 問題 (1.13),在相同的假設下,我們也建立了類似的全域 BMO 和 L1 估計。
整體而言,本文的結果可視為 Lebesgue 空間 Lp(Ω) 上的全域 Calderón-Zygmund 型估計和 C1 估計之間的一個中間情形。
統計資料
以下是支持作者論點的重要數據:
"Z
B
|∇u(x) -∇v(x)|2 dx ≤C
Z
B
|f(x) -f0|2 dx"
"Z
δB
|∇u(x) -(∇u)δB|2 dx
1
2
≤Cδ
Z
B
|∇u(x) -(∇u)B|2 dx
1
2
C(n,μ0,δ)
Z
B
|f(x) -f0|2 dx
1
2
"
引述
以下是支持作者論點的重要引語:
"Let n ≥2 and Ω⊂Rn be a bounded Lipschitz domain. Assume that A and Ω satisfy Assumption (A&Ω). Let u ∈W1,2(Ω) be the weak solution to the Neumann problem (1.6) or the Dirichlet problem (1.8) with f ∈BMOr(Ω; Rn). Then ∇u ∈BMOr(Ω; Rn) and there exists a positive constant C independent of u and f such that
∥∇u∥BMOr,+(Ω;Rn) ≤C ∥f∥BMOr,+(Ω;Rn)"