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在量子處理器上對大型多體哈密頓量進行對角化:一種避免變分優化並實現可擴展量子計算的 Krylov 方法


核心概念
Krylov 量子對角化算法是一種很有前景的方法,可以用於在當前的含噪量子計算機上計算大型量子多體系統的基態能量,並且有可能擴展到容錯量子計算機上。
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Yoshioka, N., Amico, M., Kirby, W. et al. Diagonalization of large many-body Hamiltonians on a quantum processor. arXiv:2407.14431v3 (2024).
本研究旨在探索 Krylov 量子對角化 (KQD) 算法作為一種替代變分量子算法的方法,用於在當前的含噪量子計算機上計算大型量子多體系統的基態能量。

從以下內容提煉的關鍵洞見

by Nobuyuki Yos... arxiv.org 10-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2407.14431.pdf
Diagonalization of large many-body Hamiltonians on a quantum processor

深入探究

KQD 算法如何與其他量子算法(如量子相位估計 (QPE) 或變分量子本徵求解器 (VQE))相結合,以進一步提高計算量子多體系統基態能量的準確性和可擴展性?

KQD 算法可以與其他量子算法相結合,利用各自的優勢來提高計算量子多體系統基態能量的準確性和可擴展性: 1. KQD 與 VQE 的結合: 優化初始態: VQE 的一個主要瓶頸是需要進行參數優化,而優化的效率很大程度上取決於初始態的選擇。 KQD 可以用於為 VQE 準備一個良好的初始態。具體來說,可以使用 KQD 找到一個低能量子空間,然後在這個子空間中使用 VQE 進行更精確的優化。 子空間 VQE: 可以將 KQD 找到的低能子空間作為 VQE 的一個限制條件,即只在這個子空間中搜索基態。 這種方法稱為子空間 VQE,可以有效地減少 VQE 的參數數量和優化難度。 2. KQD 與 QPE 的結合: 精確估計能量: QPE 可以高精度地估計給定量子態的能量,但需要較長的量子電路和較低的噪聲水平。 可以使用 KQD 找到一個接近基態的量子態,然後使用 QPE 精確地估計該量子態的能量。 這種方法可以有效地減少 QPE 所需的量子資源。 迭代 KQD: QPE 可以用於估計 KQD 過程中生成的 Krylov 子空間中每個態的能量。 這些信息可以用於指導 Krylov 子空間的構造,例如選擇更有效的時間演化算符,從而提高 KQD 的效率和準確性。 總之,KQD 可以作為一個強大的工具,與 VQE 和 QPE 等其他量子算法相結合,以開發更有效和更精確的量子多體系統基態能量計算方法。

KQD 算法的經典後處理部分的計算複雜度是多少,它如何隨著系統規模的增長而變化?

KQD 算法的經典後處理部分主要涉及兩個計算任務: 構建矩陣: 需要根據量子計算機測量得到的結果構建矩陣 $\tilde{H}$ 和 $\tilde{S}$。 這些矩陣的維度由 Krylov 子空間的維度 D 決定。 構建這些矩陣的計算複雜度通常為 $O(D^2)$。 求解廣義特徵值問題: 需要求解廣義特徵值問題 $\tilde{H}c = E\tilde{S}c$。 求解該問題的計算複雜度通常為 $O(D^3)$。 因此,KQD 算法經典後處理部分的總計算複雜度約為 $O(D^3)$。 需要注意的是,Krylov 子空間的維度 D 通常遠小於 Hilbert 空間的維度。 因此,KQD 算法的經典後處理部分的計算複雜度通常遠低於精確對角化 Hamilton 矩陣的計算複雜度。 然而,隨著系統規模的增長,為了保持 KQD 算法的精度,Krylov 子空間的維度 D 通常也需要增大。 因此,KQD 算法的經典後處理部分的計算複雜度仍然會隨著系統規模的增長而增加。 為了減輕經典後處理部分的計算負擔,可以採用以下策略: 選擇較小的 Krylov 子空間維度: 在精度允許的範圍內,選擇較小的 Krylov 子空間維度 D 可以有效地降低經典後處理部分的計算複雜度。 利用矩陣的稀疏性: 對於某些 Hamilton 算符,矩陣 $\tilde{H}$ 和 $\tilde{S}$ 可能具有稀疏性。 利用矩陣的稀疏性可以顯著降低求解廣義特徵值問題的計算複雜度。 使用高效的經典算法: 可以採用高效的經典算法來構建矩陣和求解廣義特徵值問題,例如 Lanczos 算法、Arnoldi 算法等。

如果我們將 KQD 算法應用於模擬經典計算機難以處理的更複雜的量子多體系統,例如高溫超導體或拓撲材料,會發生什麼?

將 KQD 算法應用於模擬高溫超導體或拓撲材料等複雜量子多體系統,既有機遇也有挑戰: 機遇: 潛在的量子優勢: 這些複雜系統通常難以用經典計算機進行模擬,因為它們的 Hilbert 空間維度隨系統規模指數增長。 KQD 算法作為一種量子算法,有可能克服經典計算機的限制,為這些複雜系統提供新的見解。 捕捉強關聯效應: KQD 算法基於時間演化算符,可以自然地捕捉到系統中的強關聯效應,而這些效應通常難以用經典方法處理。 靈活性: KQD 算法對 Hamilton 算符的形式沒有特殊要求,因此可以應用於模擬各種複雜系統,包括具有非局域相互作用的系統。 挑戰: 量子噪聲: 與所有量子算法一樣,KQD 算法也容易受到量子噪聲的影響。 對於複雜系統,量子噪聲的影響可能會更加顯著,從而降低算法的精度。 量子資源需求: 模擬複雜系統通常需要大量的量子資源,例如量子比特數、量子門操作次數等。 目前的量子計算機技術還無法滿足這些需求。 算法設計: 對於不同的複雜系統,需要設計不同的 KQD 算法變體以獲得最佳性能。 這需要對系統的物理特性有深入的理解,並需要開發新的量子算法技術。 總之,將 KQD 算法應用於模擬高溫超導體或拓撲材料等複雜量子多體系統是一個充滿希望的研究方向。 然而,要充分發揮 KQD 算法的潛力,還需要克服量子噪聲、量子資源需求和算法設計等方面的挑戰。
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