透過譜局部化器對 Floquet 系統中的拓撲保護進行定量測量

核心概念

本文提出了一種基於譜局部化器的框架，用於直接從 Floquet 哈密頓量診斷 Floquet 系統中的拓撲，並根據系統瞬時哈密頓量的擾動推導出系統拓撲保護的界限。

摘要

文章資訊

• 標題：透過譜局部化器對 Floquet 系統中的拓撲保護進行定量測量
• 作者：Stephan Wong, Alexander Cerjan, Justin T. Cole
• 發表日期：2024 年 10 月 31 日
• arXiv 編號：2410.24176v1

研究背景

拓撲光子學近年來備受關注，因為其具有產生強健的波長尺度非互易器件（如隔離器和環形器）的潛力。早期實現拓撲光子絕緣體的工作利用了旋光材料、移位環形諧振器和激子-極化子晶格來打破或有效地打破時間反演對稱性。然而，這些平台尚未完全實現波長尺度器件在納米光子學應用中的全部潛力，原因是要麼磁光效應在電信波長處太弱，要麼需要高度結構化的超表面抵消了拓撲魯棒性對製造缺陷提供的靈活性。

研究方法

本文提出了一種基於譜局部化器的框架，用於直接從 Floquet 哈密頓量診斷 Floquet 系統中的拓撲。譜局部化器採用基於算子的方法來建立拓撲，因此能夠對任何有效哈密頓量的局部拓撲進行分類，並預測拓撲保護模式的存在（或不存在），而無論系統的特殊性如何。

研究結果

• 本文證明了譜局部化器框架可以用於 Floquet 系統，並且其相關的拓撲保護度量可以用系統瞬時哈密頓量上的積分無序來理解。
• 本文推導出了一個關於 Floquet 系統拓撲保護的定量界限，該界限是根據瞬時系統得出的。
• 本文展示了這些界限在普通和異常 Floquet 陳絕緣體中的效用。

研究結論

本文提出的基於譜局部化器的框架為 Floquet 系統中的拓撲研究提供了一種新的視角，並為設計具有增強拓撲魯棒性的 Floquet 系統提供了指導。

統計資料

σ1/µclean0 < 1：當無序強度小於未受擾動系統的局部間隙時，系統的拓撲保持不變。
σ1/µclean0 > 1：當無序強度大於未受擾動系統的局部間隙時，非平凡拓撲仍然可以持續存在，這表明推導出的界限是一個充分條件，但不是必要條件。

引述

"While topological band theory predicts that a system’s topology can only change if sufficient perturbations are added to close the associated band gap, the Floquet bands of a driven system are abstracted from the instantaneous Hamiltonians that can be controlled in experiments."
"In other words, if the average disorder over one period is sufficiently small, then the topological phase at CL(x,E)(X, HF) is preserved in the presence of δH(t)."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Quantitative measure of topological protection in Floquet systems through the spectral localizer

by Stephan Wong... 於 arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.24176.pdf

深入探究

該框架如何應用於更複雜的 Floquet 系統，例如具有多個驅動頻率或非線性效應的系統？

此框架應用於更複雜的 Floquet 系統時，需要進行一些調整和擴展：

多個驅動頻率： 對於具有多個驅動頻率的系統，其時間週期將由所有頻率的最小公倍數決定。在這種情況下，需要構建一個更高維的 Floquet Hamiltonian 來描述系統的演化。具體來說，可以將每個驅動頻率視為一個額外的「合成維度」，並相應地擴展 Floquet Hamiltonian 的維度。然後，可以應用譜局部化器框架來計算系統在這個更高維空間中的拓撲不變量。

非線性效應： 非線性效應會使系統的演化變得更加複雜，因為它們會導致 Floquet Hamiltonian 變得與系統的狀態相關。一種處理非線性效應的方法是將系統線性化，並將非線性項視為微擾。然後，可以使用微擾理論來計算非線性效應對系統拓撲性質的影響。另一種方法是使用數值方法，例如 Gross-Pitaevskii 方程，來模擬非線性 Floquet 系統的演化，並從模擬結果中提取拓撲信息。

總之，雖然將譜局部化器框架應用於更複雜的 Floquet 系統需要進行一些調整和擴展，但其基本原理仍然適用。通過適當的修改，該框架可以用於研究各種複雜 Floquet 系統的拓撲性質。

是否存在其他方法可以量化 Floquet 系統中的拓撲保護，並且這些方法與譜局部化器框架相比如何？

除了譜局部化器框架，還有其他方法可以量化 Floquet 系統中的拓撲保護，以下列舉幾種常見方法：

Chern 數計算: 對於二維週期性 Floquet 系統，可以計算其 Floquet 布洛赫能帶的 Chern 數來判斷其拓撲性質。Chern 數是一個整數值，表示能帶的拓撲繞數，可以用來表徵系統的拓撲保護程度。然而，Chern 數計算僅適用於具有良好定義的布洛赫能帶的系統，對於非週期性系統或具有複雜能帶結構的系統，Chern 數計算可能變得困難或無法應用。

邊緣態分析: 拓撲保護的一個重要表現是存在拓撲邊緣態。通過分析系統邊緣態的性質，例如其能量色散、局域化程度和穩定性，可以間接地量化系統的拓撲保護程度。邊緣態分析的優點是可以直觀地理解系統的拓撲性質，並且適用於各種 Floquet 系統。然而，邊緣態分析通常需要進行數值模擬，並且難以提供一個精確的拓撲保護量化指標。

纏繞數計算: 對於一維 Floquet 系統，可以計算其時間演化算符的纏繞數來判斷其拓撲性質。纏繞數也是一個整數值，表示時間演化算符在參數空間中的拓撲繞數，可以用來表徵系統的拓撲保護程度。纏繞數計算的優點是概念簡單，計算方便，並且適用於各種一維 Floquet 系統。

與上述方法相比，譜局部化器框架具有以下優點：

普適性: 譜局部化器框架適用於各種 Floquet 系統，包括週期性和非週期性系統，以及具有不同維度和對稱性的系統。
定量化: 譜局部化器框架提供了一個定量的拓撲保護指標，即局部間隙，可以用於比較不同系統的拓撲保護程度。
局部化: 譜局部化器框架可以識別系統中拓撲保護的局部區域，這對於研究具有空間不均勻性的 Floquet 系統非常有用。
總之，譜局部化器框架是一個強大的工具，可以用於量化 Floquet 系統中的拓撲保護。與其他方法相比，它具有普適性、定量化和局部化的優點，為研究 Floquet 拓撲系統提供了新的思路和方法。

拓撲光子學的未來方向是什麼，特別是在量子計算和信息處理方面的應用？

拓撲光子學作為一個新興領域，在量子計算和信息處理方面展現出巨大潛力。以下列舉一些未來發展方向：

拓撲光子量子計算: 拓撲光子學可以為構建容錯量子計算機提供新的平台。例如，利用拓撲光子晶體中的拓撲邊緣態，可以實現對光子的魯棒性操控，進而構建拓撲保護的光量子邏輯門和量子存儲器。

拓撲光子量子信息處理: 拓撲光子器件可以用于構建高效、穩定的量子信息處理器件。例如，利用拓撲光子絕緣體的單向傳輸特性，可以實現對單光子的精確控制和路由，進而構建光量子網絡和量子傳感器。

拓撲光子量子模擬: 拓撲光子學可以為模擬凝聚態物理中的拓撲現象提供新的平台。例如，利用光子晶體模擬拓撲絕緣體、拓撲超導體等，可以研究其奇異的物理性質，並探索新的拓撲物態和拓撲相變。

非線性拓撲光子學: 非線性效應可以為拓撲光子學帶來新的物理現象和應用。例如，利用非線性光學材料和結構，可以實現拓撲孤子、拓撲激光等，並探索其在光信息處理、光學成像等方面的應用。

動態可控拓撲光子學: 通過設計和製備具有可調控參數的拓撲光子器件，可以實現對光子拓撲態的動態操控，進而構建可編程的光量子器件和光量子網絡。

總之，拓撲光子學在量子計算和信息處理方面具有廣闊的應用前景。隨著研究的深入，預計將會出現更多基於拓撲光子學的新原理、新技術和新應用，推動量子信息技術的發展。