量子多體系統中的希爾伯特子空間遍歷性

核心概念

在具有量子多體疤痕、希爾伯特空間碎裂或對稱性的量子多體系統中，儘管無法實現完全希爾伯特空間遍歷性 (CHSE)，但在系統的解耦子空間內，仍可觀察到一種稱為希爾伯特子空間遍歷性 (CHSSE) 的現象。

摘要

文章類型

這篇文章是一篇研究論文，探討量子多體系統中的遍歷性，特別關注在違反傳統遍歷性條件（如量子多體疤痕、希爾伯特空間碎裂和對稱性）的情況下，系統如何在子空間內展現出遍歷行為。

研究目標

• 探討違反 eigenstate thermalisation hypothesis (ETH) 的機制，如量子多體疤痕和希爾伯特空間碎裂，如何影響完全希爾伯特空間遍歷性 (CHSE)。
• 研究在具有局部守恆量的系統中，CHSE 是否仍然存在。

研究方法

• 使用由二階局部量子閘組成的簡單電路模型進行數值模擬。
• 透過在模型中嵌入量子多體疤痕、希爾伯特空間碎裂和對稱性來研究其對 CHSE 的影響。
• 使用希爾伯特-施密特距離和離散集合熵來量化系統的遍歷性。

主要發現

• 對於沒有守恆量的系統，所提出的 brickwork 電路模型展現出 CHSE。
• 當系統中存在量子多體疤痕時，CHSE 不會在整個希爾伯特空間中出現，而是在非疤痕子空間內出現，稱為希爾伯特子空間遍歷性 (CHSSE)。
• 具有希爾伯特空間碎裂的系統也會在每個解耦子空間內展現出 CHSSE。
• 具有對稱性的系統同樣會在每個對稱子空間內展現出 CHSSE。

主要結論

• CHSSE 可以視為傳統 CHSE 的推廣，適用於具有守恆量或其他違反 ETH 機制的量子多體系統。
• CHSSE 的存在意味著在這些系統的解耦子空間內可以形成 t-designs，這對於量子信息處理任務具有潛在的應用價值。

研究意義

這項研究增進了我們對封閉量子系統中熱化和遍歷性的理解，特別是在存在違反 ETH 機制的情況下。它提供了一種新的視角來理解這些系統中的動力學行為，並為量子信息處理提供了新的可能性。

局限與未來研究方向

• 本研究主要關注簡單的電路模型，未來可以進一步研究更複雜的模型，例如具有長程交互作用或無序的模型。
• 未來可以探討 CHSSE 在量子信息處理任務中的具體應用，例如量子態製備和量子計算。

統計資料

在一個具有 4 個量子位元的系統中，當嵌入單個量子多體疤痕時，非疤痕子空間的維度會減少。
對於一個由 4 個量子三元組成的系統，pair-flip 模型會產生 24 個凍結態、6 個 7 維子空間和 1 個 15 維子空間。
在一個具有 4 個量子位元且具有交錯磁化 U(1) 對稱性的系統中，希爾伯特空間會分裂成 5 個子空間，維度分別為 1、4、6、4、1。

引述

"This notion of ergodicity is defined at a dynamical level, and refers to the phenomenon by which any initial state will explore all other states within the Hilbert space with “equal probability” in the long time limit."
"Our main finding is that, in the presence of non-local conserved quantities, generic aperiodically driven systems can display CHSE within different subspaces, which we call Hilbert Subspace Ergodicity."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Hilbert Subspace Ergodicity

by Leonard Loga... 於 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14359.pdf

深入探究

除了量子多體疤痕、希爾伯特空間碎裂和對稱性之外，還有哪些其他機制會導致 CHSSE？

除了量子多體疤痕、希爾伯特空間碎裂和對稱性之外，還有其他機制可能導致 CHSSE，以下列舉幾項：

局域性（Locality）： 儘管文章中探討了具有局域單一算符的模型，但更強的局域性約束，例如限制量子信息傳播速度的 Lieb-Robinson 界限，可能會阻礙系統探索整個希爾伯特空間，從而導致 CHSSE。
可積性（Integrability）： 可積系統擁有一定數量的守恆量，這些守恆量會限制系統的動力學，並可能導致 CHSSE。與文章中討論的全局對稱性不同，這些守恆量通常與局域算符相關。
無序性（Disorder）： 在某些情況下，無序可以導致多體局域化（MBL），這是一種動力學現象，其中系統無法熱化，並且其動力學被限制在希爾伯特空間的一個小子空間內，從而導致 CHSSE。
驅動協議（Driving protocol）： 文章中使用了基於費氏數列的非週期驅動協議。其他驅動協議，特別是那些具有特定結構或對稱性的協議，可能會導致 CHSSE。
重要的是要注意，這些機制並不相互排斥，並且可能以複雜的方式相互作用，從而導致 CHSSE。

CHSSE 的存在對於量子多體系統的熱化過程有何影響？

CHSSE 的存在對量子多體系統的熱化過程具有重要影響：

非傳統熱化途徑： 傳統上，人們認為量子多體系統的熱化是通過滿足本徵態熱化假設（ETH）實現的。然而，CHSSE 提供了一種替代途徑，系統即使在其動力學受限於希爾伯特空間的子空間內時也能夠熱化。
子空間熱化： 在 CHSSE 系統中，儘管系統可能無法探索整個希爾伯特空間，但它可以在其可訪問的子空間內有效地熱化。這意味著對於局域可觀測量，系統的長時間平均值將與相應子空間內的熱平衡態一致。
熱化時間尺度： CHSSE 系統的熱化時間尺度由子空間的大小和動力學的細節決定。通常，較小的子空間和更快的動力學會導致更快的熱化。
總之，CHSSE 揭示了量子多體系統熱化過程中豐富的現象，並突出了傳統 ETH 框架之外的可能性。

能否利用 CHSSE 來設計更高效的量子算法？

CHSSE 的存在為設計更高效的量子算法帶來了潛在的機會：

量子態準備： CHSSE 可以用於在特定子空間內有效地準備量子態。通過設計具有 CHSSE 動力學的量子電路，可以讓系統演化到目標子空間內的期望狀態，而無需昂貴的量子門操作。
量子模擬： CHSSE 可以用於在量子計算機上更有效地模擬量子多體系統。通過將模擬限制在相關的子空間內，可以減少所需的量子資源，並提高模擬的效率。
量子機器學習： CHSSE 可能在量子機器學習中發揮作用，特別是在需要對數據進行子空間分析的情況下。通過利用 CHSSE 的能力來探索和表徵子空間，可以開發出用於分類、降維和特徵提取的新算法。
然而，重要的是要注意，利用 CHSSE 設計量子算法仍處於探索階段。需要進一步的研究來開發利用 CHSSE 的具體算法，並評估其相對於經典算法和現有量子算法的性能優勢。