二次域上的特殊橢圓曲線

核心概念

本文探討了二次域上的特殊橢圓曲線，這些曲線的ℓ進伽羅瓦表示具有特殊的性質。文章引入了「平衡」的概念來描述這些曲線，並證明了當ℓ足夠大時，所有特殊橢圓曲線都是平衡的。作者進一步研究了平衡特殊橢圓曲線的Frobenius跡，發現它們滿足類似於具有複數乘法的橢圓曲線的同餘關係。基於此，文章提出了一個猜想：二次域上的平衡橢圓曲線必定具有複數乘法。

摘要

二次域上的特殊橢圓曲線

本文深入探討了定義在數域 K 上，並在某個有理素數 ℓ 處展現出受限 ℓ 進伽羅瓦表示的特殊阿貝爾簇，特別關注於橢圓曲線的情況。

特殊性的有限性

文章首先回顧了關於阿貝爾簇算術的先前研究，包括半穩定約化、伽羅瓦表示和 Ihara 問題。接著，文章回顧了關於特殊條件的有限性結果，並利用仿射模曲線上的 S-整點分析，獲得了新的有限性結果，其中 ℓ 是固定的，而 K 則允許變化。

平衡特殊簇

文章引入了「平衡」的概念，用於描述 ℓ 進撓群結構特殊的特殊阿貝爾簇。作者證明了當 ℓ 足夠大時，所有特殊阿貝爾簇都是平衡的，並且這個結果在數域的次數和阿貝爾簇的維數固定後是一致成立的。

Frobenius 跡和複數乘法

文章深入研究了平衡特殊橢圓曲線的 Frobenius 跡，證明它們滿足類似於具有複數乘法的橢圓曲線的同餘關係。基於此，文章提出了一個猜想：二次域上的平衡橢圓曲線必定具有複數乘法。

計算結果

文章最後列出了具有無理 j-不變量的所有橢圓曲線，其中包含了所有定義在二次域上並具有複數乘法的特殊橢圓曲線。計算證據表明，列表中的每條曲線都是特殊的。

統計資料

當 ℓ > 19 時，定義在二次數域上的特殊橢圓曲線總是平衡的。

引述

「我們推測，二次數域上的平衡橢圓曲線必定具有複數乘法。」

從以下內容提煉的關鍵洞見

Heavenly elliptic curves over quadratic fields

by Cam McLeman,... 於 arxiv.org 10-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.18389.pdf

深入探究

平衡條件是否可以推廣到更高維的阿貝爾簇？

是的，平衡條件可以自然地推廣到更高維的阿貝爾簇。對於一個定義在數域 $K$ 上，維度為 $g$ 的阿貝爾簇 $A$，以及 $K$ 中一個在 $\ell$ 之上的素理想 $\mathfrak{l}$，我們可以類似地定義 Tate-Oort 數 ${j_{\mathfrak{l},r}}{r=1}^{2g}$。如果存在一個分割 ${1, 2, ..., 2g} = R_1 \sqcup R_2 \sqcup ... \sqcup R_g$，使得對於每個 $k$，若 $R_k = {s, t}$，則 $j{\mathfrak{l},s} + j_{\mathfrak{l},t} = e$，我們就說 $A$ 在 $\mathfrak{l}$ 處是弱平衡的。
更進一步地，如果 Tate-Oort 數滿足 $j_{\mathfrak{l},1} = j_{\mathfrak{l},2} = ... = j_{\mathfrak{l},2g} = e/2$，我們就說 $A$ 在 $\mathfrak{l}$ 處是平衡的。
值得注意的是，論文中證明了對於任何 heavenly 的阿貝爾簇 $A$，它在 $\mathfrak{l}$ 處總是弱平衡的（Theorem 5.1）。然而，對於高維阿貝爾簇，我們並不期望平衡條件總是成立。

是否存在不具有複數乘法的特殊橢圓曲線的反例？

論文中猜測 (Conjecture B)，對於一個固定的素數 $\ell$ 和二次數域 $K$，如果橢圓曲線 $E/K$ 在 $\ell$ 處是 heavenly 且平衡的，那麼 $E$ 就具有複數乘法。這個猜想目前仍然是開放的。
換句話說，目前我們並沒有找到不具有複數乘法的 heavenly 且平衡的橢圓曲線的反例。找到這樣的反例將會是非常重要的結果，它將會表明 heavenly 和平衡這兩個條件並不足以保證橢圓曲線具有複數乘法。

特殊橢圓曲線的特殊性質與 Ihara 問題之間是否存在更深層次的聯繫？

論文中研究的 heavenly 橢圓曲線的特殊性質，例如平衡條件和 Frobenius 跡的同餘性質，都源於它們與 Ihara 問題的聯繫。具體來說：

heavenly 條件的動機: heavenly 阿貝爾簇的定義源於對 Ihara 問題的研究，即比較數域 $K$ 的兩個 Galois 擴張：$\text{山}\text{山}\text{山}(K, \ell)$ 和 $\text{天}\text{天}\text{天}(K, \ell)$。
平衡條件的含義: 平衡條件可以看作是 heavenly 條件在 $\ell$-adic Galois 表示層面上的更精細的刻畫。一個 heavenly 且平衡的橢圓曲線的 $\ell$-adic Galois 表示具有非常特殊的結構，這與具有複數乘法的橢圓曲線的 $\ell$-adic Galois 表示的結構相似。
Frobenius 跡的同餘性質: heavenly 且平衡的橢圓曲線的 Frobenius 跡滿足的同餘性質，與具有複數乘法的橢圓曲線的 Frobenius 跡滿足的同餘性質非常相似。
這些現象暗示着 heavenly 橢圓曲線的特殊性質與 Ihara 問題之間可能存在更深層次的聯繫。例如，我們可以問：

是否可以利用 heavenly 橢圓曲線的特殊性質，例如平衡條件和 Frobenius 跡的同餘性質，來研究 Ihara 問題？
heavenly 橢圓曲線與 $\text{山}\text{山}\text{山}(K, \ell)$ 和 $\text{天}\text{天}\text{天}(K, \ell)$ 這兩個 Galois 擴張之間是否存在更直接的聯繫？
對這些問題的研究將有助於我們更深入地理解 Ihara 問題，以及 heavenly 橢圓曲線的算術性質。