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任意殘餘有限性與共軛可分離性增長之間的關係


核心概念
本文探討群論中殘餘有限性增長與共軛可分離性增長之間的關係,證明了這兩種增長可以獨立選擇,並可以相差任意遠。
摘要

文獻回顧

  • 近年來,數學家致力於量測如何在有限商群中識別特定群元素的性質。
  • Bou-Rabee 引入了殘餘有限性增長函數 (RfS
    G) 來衡量群 G 中元素在有限商群中的可分離性。
  • 類似地,共軛可分離性增長函數 (ConjS
    G) 則用於衡量群 G 中非共軛元素在有限商群中的可分離性。
  • 先前的研究表明,對於增長足夠快的函數 f,可以找到一個群 G,使得 RfG(n) ≃ f(n)。然而,對於共軛可分離性增長函數的範圍,文獻中卻鮮有提及。

Bradford 的構造

  • 本文首先介紹了 Bradford 在 [3] 中構造的一類群,這些群是對 B.H.Neumann 群的推廣。
  • 這些群是 G0(d) =

    Y
    m=1
    Alt(d(m))
    !
    × Z3 ≀Z 的 2-生成子群,其中 d 是一個滿足特定條件的函數。
  • Bradford 證明了這些群的殘餘有限性增長可以是任意增長足夠快的函數。

共軛可分離性的界限

  • 本文證明了 Bradford 構造的群是共軛可分離的,並且它們的共軛可分離性增長函數與其殘餘有限性增長函數相同。
  • 證明過程中,除了考慮在 Alt(d(m)) 上的投影外,還允許在 Z3 ≀Z 上的投影來分離共軛類。

Rf 和 Conj 之間的差距

  • 之前的例子中,殘餘有限性增長和共軛可分離性增長始終相等。然而,對於一般群體而言,情況並非總是如此。
  • 本文構造了一類新的群,它們具有任意的殘餘有限性增長和任意的共軛可分離性增長,並且這兩種增長可以獨立選擇。
  • 這些新的群由函數 d : N × N → N 和 r : N → N 標記,其中 RfG 的行為由 d(n, 1) 決定,而 Conj 的行為由 d(n, mn) 決定。

主要結果

  • 本文證明了對於任意兩個滿足特定條件的函數 F1 和 F2,存在一個群 G,使得 RfG(n) ≃ F1(n) 且 ConjG(n) ≃ F2(n)。
  • 換句話說,殘餘有限性增長和共軛可分離性增長可以獨立選擇,並且可以相差任意遠。
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引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

by Lukas Vandep... arxiv.org 10-16-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.11667.pdf
Arbitrary residual finiteness and conjugacy separability growth

深入探究

是否存在不依赖于扭转子群来控制残余有限性增长的群?

這個問題目前還沒有確切的答案。現有的構造具有任意大殘餘有限性增長或共軛可分離性增長的群,大多依賴於扭轉子群的結構。扭轉子群,特別是交錯群的有限直積,為控制這些群的有限商提供了便利。 然而,這並不意味著所有具有大殘餘有限性增長的群都必須依賴於扭轉子群。探索不依赖于扭转子群来控制残余有限性增长的群的構造,將是一個有趣的研究方向。以下是一些可能的研究方向: 考慮其他類型的群構造: 例如,可以探索利用HNN擴張、圖靈機群或其他群論構造方法來構造具有所需性質的群。 研究現有群類的性質: 可以深入研究某些已知群類,例如分支群或雙曲群,以確定是否存在不依赖于扭转子群但具有大殘餘有限性增長的例子。 放寬對殘餘有限性增長的要求: 可以考慮研究具有較慢殘餘有限性增長的群,例如多項式增長或次指數增長,並探討在這些情況下是否更容易找到不依赖于扭转子群的例子。

如果放寬對函數 F1 和 F2 的限制,例如允許它們增長較慢,那麼 Rf 和 Conj 之間的關係會如何變化?

如果放寬對函數 F1 和 F2 的限制,允許它們增長較慢,那麼 Rf 和 Conj 之間的關係可能會變得更加複雜,並且更難以預測。 低增長率: 當 F1 和 F2 的增長率較慢時,例如多項式增長或次指數增長,可能存在更多具有相同 Rf 和 Conj 的群。這是因為在低增長率下,群的結構可能更受限制,從而導致 Rf 和 Conj 之間的差異更小。 新的群構造方法: 為了構造具有特定 Rf 和 Conj 的群,可能需要開發新的群構造方法。這些方法需要能夠更精確地控制群的有限商和共軛類。 計算複雜性: 對於增長較慢的函數,確定 Rf 和 Conj 的確切值可能會變得更加困難。這需要開發新的算法和技術來分析群的有限商和共軛類。 總之,放寬對 F1 和 F2 的限制將為研究 Rf 和 Conj 之間的關係帶來新的挑戰和機遇。

這些關於群的殘餘有限性和共軛可分離性的結果對於其他數學領域,例如拓撲學或幾何群論,有什麼影響?

這些關於群的殘餘有限性和共軛可分離性的結果,對於其他數學領域,例如拓撲學或幾何群論,具有重要的影響: 拓撲學: 三維流形: 殘餘有限性和共軛可分離性在三維流形的研究中扮演著重要的角色。例如,一個基本群是殘餘有限的三維流形可以嵌入到一個緊緻的三維流形中。 覆蓋空間理論: 殘餘有限性與群的有限覆蓋空間密切相關。一個群的殘餘有限性意味著它具有許多有限覆蓋空間,這可以用於研究群的結構和性質。 幾何群論: 雙曲群和相對雙曲群: 這些群類具有良好的幾何和拓撲性質,並且與低維拓撲密切相關。殘餘有限性和共軛可分離性是理解這些群的重要工具。 群作用: 殘餘有限性和共軛可分離性可以用於研究群在其他空間上的作用,例如樹、圖和CAT(0)空間。 總之,這些關於群的殘餘有限性和共軛可分離性的結果,為研究其他數學領域提供了新的工具和視角,並促進了不同數學分支之間的聯繫和發展。
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