具有廣義平移的黎曼 zeta 函數的聯合普遍性

核心概念

本文推廣了黎曼 zeta 函數的聯合普遍性定理，證明了對於一類滿足特定條件的廣義平移函數，聯合普遍性依然成立。

摘要

標題：具有廣義平移的黎曼 zeta 函數的聯合普遍性
作者：中島啓太
發表日期：2024 年 11 月 17 日

本研究旨在推廣現有的黎曼 zeta 函數的聯合普遍性定理，探討對於一類更廣泛的平移函數，聯合普遍性是否仍然成立。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Joint Universality for the Riemann zeta-function with general shifts

by Keita Nakai 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.04269.pdf

深入探究

除了本文考慮的廣義平移函數之外，還有哪些類型的函數可以滿足聯合普遍性定理？

除了本文提到的廣義平移函數，還有其他類型的函數可能滿足聯合普遍性定理，以下列舉一些例子以及研究方向：

周期函數的線性組合: 可以考慮形如 $\gamma(\tau) = a\tau + b\sin(\tau)$ 的函數，其中 $a$ 和 $b$ 為實數。這類函數兼具線性增長和周期震盪的特性，研究其聯合普遍性需要更精細地估計積分均值。
分段函數: 可以考慮由不同類型的函數在不同區間拼接而成的分段函數，例如在某些區間是線性函數，而在其他區間是指數函數。這類函數的處理難度在於需要分析不同區間函數的影響，以及區間端點的連續性問題。
涉及特殊函數的平移: 可以考慮形如 $\gamma(\tau) = a\tau + b\log \tau$ 或 $\gamma(\tau) = a\tau + b\Gamma(\tau)$ 的函數，其中 $\Gamma(\tau)$ 為伽瑪函數。這類函數的處理需要利用特殊函數的性質，例如漸近展開式和積分表示式。
需要注意的是，對於上述這些類型的函數，證明聯合普遍性定理需要克服新的技術難題。例如，需要發展新的積分估計方法，以及更精細地分析隨機變量的分佈性質。

如果放寬對平移函數的限制條件，例如允許其導數出現震盪，聯合普遍性定理是否仍然成立？

如果放寬對平移函數的限制條件，例如允許其導數出現震盪，那麼聯合普遍性定理不一定成立。

反例: 考慮 $\gamma_1(\tau) = \tau + \sin(\tau)$ 和 $\gamma_2(\tau) = 2\tau$。這兩個函數的導數都出現震盪，並且不滿足本文中對於 admissible tuples 的定義。可以證明，對於某些緊集 $K$ 和函數 $f_1(s), f_2(s)$，聯合普遍性定理不成立。
原因: 允許導數出現震盪會導致積分 $\int_T^{2T} \exp(i\gamma(t) \log \frac{n}{m}) dt$ 的估計變得困難。在本文的證明中，利用了導數單調性來應用 Lemma 3.1 進行估計。如果導數出現震盪，則 Lemma 3.1 不再適用，需要發展新的積分估計方法。
研究方向:

可以嘗試尋找新的條件來約束導數的震盪幅度和頻率，使得聯合普遍性定理仍然成立。
可以研究在放寬限制條件後，聯合普遍性定理成立的概率。

黎曼 zeta 函數的聯合普遍性定理在數論的其他領域，例如密碼學和編碼理論中，有哪些潛在的應用？

黎曼 zeta 函數的聯合普遍性定理雖然是數論中的重要理論結果，但其在密碼學和編碼理論中的直接應用目前還比較少。主要原因是聯合普遍性定理的條件比較嚴格，難以直接應用於實際的密碼和編碼方案中。
然而，聯合普遍性定理的思想和方法可以為密碼學和編碼理論提供一些啟發：

偽隨機數生成: 聯合普遍性定理表明，黎曼 zeta 函數在某些平移下的取值可以逼近任意給定的解析函數。這為設計新的偽隨機數生成器提供了思路，可以利用黎曼 zeta 函數的性質來生成具有良好統計性質的偽隨機數序列。
秘密共享: 聯合普遍性定理可以看作是一種函數逼近的結果。在秘密共享方案中，需要將一個秘密信息分散到多個參與者手中，使得只有部分參與者合作才能恢復出秘密信息。可以借鑒聯合普遍性定理的思想，設計基於函數逼近的秘密共享方案。
編碼理論: 聯合普遍性定理可以看作是一種函數空間的稠密性結果。在編碼理論中，需要設計高效的編碼方案，將信息編碼成碼字，並通過有噪聲的信道傳輸。可以借鑒聯合普遍性定理的思想，研究基於函數空間稠密性的編碼方案。
總之，黎曼 zeta 函數的聯合普遍性定理在密碼學和編碼理論中的直接應用目前還比較有限，但其思想和方法可以為這些領域提供一些新的思路和研究方向。隨著研究的深入，相信聯合普遍性定理在這些領域的應用會越來越多。