核心概念
本文介紹了一種將自動微分 (AD) 整合到基於快速傅立葉變換 (FFT) 的固體力學方法中的創新方法,旨在簡化複雜材料模型和力學問題的數值模擬。
導論
快速傅立葉變換 (FFT) 方法因其計算效率高、易於實施和内存佔用低,在固體力學中被廣泛應用於解決複雜的均勻化問題。
然而,現有的基於 FFT 的方法面臨著一些挑戰,限制了它們對複雜材料模型或複雜力學問題的適用性。
這些挑戰包括本構定律的手動實現,以及使用計算成本高昂且複雜的算法將微觀尺度機制與宏觀尺度材料行為耦合起來。
自動微分如何運作?
自動微分 (AD) 通過將複雜函數分解為已知精確導數的基本函數,並通過加法和減法等基本算術運算將它們連接起來,從而克服了這些限制。
自動微分有兩種方式可以使用鏈式法則來計算導數:正向模式微分和反向模式微分。
正向模式在從低維空間映射到高維空間時計算效率更高,而反向模式在從高維空間映射到低維空間時效率更高。
用於固體力學的可微分 FFT 框架
本文採用傅立葉-伽遼金譜方法將自動微分整合到基於 FFT 的求解器中。
該方法通過自動微分簡化了應力計算、切線模量和增量應力的計算以及均勻化剛度張量的計算。
應用
本文通過幾個例子證明了增強型 AD 的傅立葉-伽遼金方法在處理具有複雜材料模型、大變形和多尺度模擬的力學問題方面的能力。
結果表明,自動微分可以輕鬆地微分具有複雜數學運算(如 FFT 變換)或邏輯運算(如條件/無條件循環)的函數,從而簡化了整個數值框架。
結論
將自動微分整合到基於 FFT 的方法中,可以顯著簡化複雜固體力學問題的數值實現。
自動微分通過自動計算導數,減輕了手動實現本構定律和開發複雜耦合算法的需求。
這項工作為基於 FFT 的方法開闢了新的可能性,使其更容易獲得更廣泛的應用。
統計資料
使用 199² 個網格點模擬超彈性材料的計算時間約為 19.5 秒。
使用 199² 個網格點模擬彈塑性材料的計算時間約為 0.25 秒。
對於 Eshelby 問題,在 199² 個計算網格點上的總計算時間約為 4 秒。
在多尺度模擬中,宏觀問題使用有限元方法 (FEM) 處理,而微觀問題則採用基於 FFT 的方法,總共大約需要 20 分鐘(總共大約 100 萬個自由度)。
蒙特卡洛方法獲得飽和值所需的總時間約為 7 分鐘,而 AD 計算的不確定性大約需要 20 秒。