可約化么元酉單式主要表示的 Whittaker 空間：^SL2(F) 的情況

核心概念

本文計算了 ^SL2(F) 的可約化么元真單式主要表示中兩個不可約加總的 Whittaker 泛函空間的維度，並探討了 Whittaker 特徵標變動時維度的變化，並將結果應用於分析扭曲的 Kazhdan-Patterson n 重覆蓋 GL2(F) 對兩個加總的作用。

摘要

Szpruch, D. (2024). Whittaker spaces for reducible unitary principal series representations of $\widetilde{SL_2(F)}$. arXiv:2411.11460v1 [math.NT].

本論文旨在探討 ^SL2(F) 的可約化么元真單式主要表示中兩個不可約加總的 Whittaker 泛函空間的維度。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Whittaker spaces for reducible unitary principal series representations of $\widetilde{SL_2(F)}$

by Dani Szpruch 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.11460.pdf

深入探究

如何將本文結果推廣到更高維度的矩陣群或更一般的覆蓋群？

將本文結果推廣到更高維度矩陣群或更一般的覆蓋群是一個極具挑戰性但意義重大的課題。以下列出一些可能的推廣方向和挑戰：
推廣方向：

更高階的 $SL_n(F)$： 可以嘗試將結果推廣到 $n > 2$ 的情況，研究 $\widetilde{SL_n(F)}$ 的可約酉單式主要級數表示的 Whittaker 泛函空間維度。
其他經典群： 可以探索將結果推廣到其他經典群的覆蓋群，例如 $Sp_{2n}(F)$ 和 $SO_{2n}(F)$ 等。
更一般的覆蓋群： 可以嘗試將結果推廣到更一般的覆蓋群，例如非線性代數群的覆蓋群。

挑戰：

覆蓋群結構複雜性： 隨著維度的增加或覆蓋群變得更一般，其結構會變得更加複雜，例如中心擴張的構造、極大阿貝爾子群的分類等，這會增加研究難度。
表示論的複雜性： 高維矩陣群或更一般的覆蓋群的表示論更加複雜，例如單式主要級數表示的分類、不可約表示的構造等，這會影響 Whittaker 泛函空間維度的計算。
交織算子和散射矩陣的描述： 在更一般的情況下，交織算子和散射矩陣的描述可能更加複雜，甚至無法得到顯式表達式，這會影響維度計算的可行性。

儘管面臨這些挑戰，但本文提供的方法和結果為推廣到更一般的情況提供了重要的參考價值。例如，可以嘗試利用 Plancherel 測度和局部係數矩陣的性質來研究 Whittaker 泛函空間的維度。

是否存在其他方法可以計算 Whittaker 泛函空間的維度，而無需依賴於交織算子和散射矩陣？

除了依賴交織算子和散射矩陣的方法外，還有一些其他方法可以嘗試計算 Whittaker 泛函空間的維度，但這些方法可能需要滿足一些額外條件或僅適用於特定類型的表示：

几何方法： 可以利用表示的几何構造來研究 Whittaker 泛函空間。例如，對於某些群，可以將 Whittaker 泛函與旗流形的軌道積分聯繫起來，並利用几何方法計算維度。
全局方法： 可以利用自守表示理論中的全局方法，例如迹公式，來研究 Whittaker 泛函空間的維度。這種方法需要考慮全局表示的性質，並將局部 Whittaker 泛函空間的維度與全局信息聯繫起來。
組合方法： 對於某些特定類型的表示，例如某些有限維表示或仿射 Hecke 代數的表示，可以使用組合方法來計算 Whittaker 泛函空間的維度。這種方法通常需要對表示的結構有深入的了解。

需要注意的是，這些方法可能並不總是適用或容易實現。交織算子和散射矩陣的方法在許多情況下仍然是最有效的方法之一。

本文結果對於理解 ^SL2(F) 的自守表示和 L 函數有何影響？

本文結果對於理解 $\widetilde{SL_2(F)}$ 的自守表示和 L 函數具有以下重要影響：

自守表示的分解： 本文結果有助於理解 $\widetilde{SL_2(F)}$ 的自守表示的分解。可約酉單式主要級數表示的 Whittaker 泛函空間維度信息可以用於區分其不可約成分，並研究這些成分在自守譜中的出現。
L 函數的解析性質： Whittaker 泛函空間的維度與 L 函數的解析性質密切相關。例如，可以利用 Whittaker 泛函空間的維度信息來研究 L 函數的極點和留數，進而推導出關於自守 L 函數的函數方程和特殊值等重要信息。
Langlands 綱領的局部方面： 本文結果對於理解 Langlands 綱領的局部方面具有重要意義。Whittaker 泛函空間的維度信息可以用於構造和分類 $\widetilde{SL_2(F)}$ 的局部 Langlands 参数，並研究局部 Langlands 對應的性質。

總之，本文結果為研究 $\widetilde{SL_2(F)}$ 的自守表示和 L 函數提供了新的工具和视角，並為進一步探索覆蓋群的表示論和自守形式理論開闢了新的方向。