在時空反演對稱性下的一維 Z 分類拓撲晶體絕緣體

核心概念

本研究揭示了一大類受時空反演對稱性保護的一維拓撲晶體絕緣體 (TCIs)，其特徵在於 Z 不變量，並引入反演纏繞數作為表徵帶拓撲的新拓撲不變量，為 TCI 中的帶拓撲研究和分類提供了新的範例。

摘要

摘要
本研究探討了一大類受時空反演對稱性保護的一維拓撲晶體絕緣體 (TCIs)，其特徵在於 Z 不變量，與傳統上以 Z2 量化極化（Berry-Zak 相位）表徵的受反演對稱性保護的一維帶拓撲形成鮮明對比。通過考慮亞晶格（軌道）之間的非平凡相對極化，我們引入了反演纏繞數作為表徵和分類帶拓撲的拓撲不變量。反演纏繞數可靠地捕捉到了一種新穎的體邊對應關係，其中間隙邊緣態與夾層帶的反演纏繞數相關。利用實空間分析，我們發現了無序誘導的拓撲安德森絕緣體，並建議通過邊緣態或體態的相對極化來實驗區分帶拓撲。我們的綜合研究結果為 TCI 中正在進行的帶拓撲研究和分類提供了一個範例。
研究背景
晶體對稱性在拓撲絕緣體的分類中起著重要作用，它補充了三種內在對稱性（即手性、時間反演和粒子空穴對稱性）。近年來，通過分析動量空間中的高對稱點和實空間中的化學軌道，系統地搜尋 TCI 得以實現。TCI 表現出非凡的拓撲特性，例如角態、量子化多極矩、非阿貝爾拓撲電荷和週期倍增的布洛赫振盪。這些特性表明晶體對稱性引入了更豐富的拓撲結構，並可能在自旋電子學、量子計算和新型電子器件中具有廣闊的應用前景。
研究方法
我們考慮了一個簡單但通用的三帶模型，該模型具有時空反演對稱性。通過考慮第一個和第三個亞晶格之間的亞晶格極化差，我們定義了一個規範不變纏繞數，即反演纏繞數。我們選擇了一個具有長程隧穿的模型，並通過改變模型參數，計算了開放邊界條件和週期邊界條件下的能譜和反演纏繞數。此外，我們還計算了每個帶的極化，並將其與反演纏繞數進行比較。為了評估帶拓撲對無序的魯棒性，我們在保留時空反演對稱性的情況下，將無序引入到模型中，並計算了最低帶的反演纏繞數和極化的相圖。最後，我們提出了一種通過實驗測量邊緣態或體態的密度分佈來表徵帶拓撲的方法。
研究結果
我們發現，在時空反演對稱性下，一大類一維 TCI 中存在奇異的拓撲結構。時空反演對稱性是指反演對稱性和時間反演對稱性的組合，它對布洛赫哈密頓量及其特徵向量在動量空間內局部施加了約束。這種現象為布洛赫態帶來了內部拓撲結構，從而能夠對一維 TCI 中的帶拓撲進行實質性分類。我們的研究結果表明，反演纏繞數可以很好地表徵體拓撲和體邊對應關係。此外，我們還發現，即使在存在強對稱不變無序的情況下，反演纏繞數仍然有效。
研究結論
本研究揭示了一大類受時空反演對稱性保護的一維拓撲晶體絕緣體 (TCIs)，其特徵在於 Z 不變量，並引入反演纏繞數作為表徵帶拓撲的新拓撲不變量，為 TCI 中的帶拓撲研究和分類提供了新的範例。

統計資料

在開放邊界條件下，第一和第二個帶隙中的間隙態數量分別與第一個 (n = 1) 和第三個 (n = 3) 帶的反演纏繞數成正比：N #1_edge = 2|ν1| 和 N #2_edge = 2|ν3|。
第二個帶 (n = 2) 的反演纏繞數是第一個和第三個帶的總和：ν2 = ν1 + ν3。
極化 p 與反演纏繞數 ν 通過關係 p = ν/2 mod 1 相關聯。

從以下內容提煉的關鍵洞見

One-dimensional $\mathbb{Z}$-classified topological crystalline insulator under space-time inversion symmetry

by Ling Lin, Yo... 於 arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.00327.pdf

深入探究

如何將本研究中提出的反演纏繞數的概念推廣到更高維度的拓撲晶體絕緣體中？

要將反演纏繞數的概念推廣到更高維度的拓撲晶體絕緣體中，可以考慮以下幾個方面：

高維空間中的子晶格極化: 在高維系統中，空間反演對稱性會將晶格分成多個子晶格。類似於一維情況，可以計算不同子晶格之間的極化差，並將其定義為新的拓撲不變量。這個不變量可以是整數或更複雜的拓撲量，例如向量或張量，具體取決於空間維度和晶體對稱性。

高維空間中的纏繞數: 在高維系統中，可以尋找類似於一維情況下的纏繞數。例如，可以考慮沿著高維布里渊区中特定路径的布洛赫波函數的演化，並計算其纏繞數。這個纏繞數可以反映高維拓撲晶體絕緣體的拓撲性質。

利用高階拓撲不變量: 對於高階拓撲絕緣體，可以利用高階拓撲不變量來刻畫其拓撲性質。這些高階拓撲不變量通常與系統邊界上的低維拓撲態相關聯。例如，可以計算二維拓撲晶體絕緣體邊界上的一維反演纏繞數，從而刻畫其高階拓撲性質。

需要注意的是，將反演纏繞數推廣到高維情況並不容易，需要根據具體的晶體對稱性和空間維度進行具體分析。

是否存在其他類型的對稱性可以保護類似於反演纏繞數的 Z 分類拓撲不變量？

是的，除了空間反演對稱性外，其他類型的對稱性也可以保護類似於反演纏繞數的 Z 分類拓撲不變量。

鏡面對稱性: 類似於反演對稱性，鏡面對稱性也可以將晶格分成不同的區域。可以計算不同區域之間的極化差，並將其定義為新的拓撲不變量，稱為鏡面纏繞數。

旋轉對稱性: 對於具有旋轉對稱性的系統，可以考慮沿著旋轉軸的布洛赫波函數的演化，並計算其纏繞數。這個纏繞數可以反映系統的拓撲性質，並且可以被旋轉對稱性所保護。

非對稱性: 近年來，人們發現即使在沒有任何對稱性的情況下，某些系統也可能表現出非平庸的拓撲性質。這些系統的拓撲性質通常受到非對稱性的保護，例如手性對稱性或時間反演對稱性。

總之，任何可以將系統劃分為不同區域或影響布洛赫波函數演化的對稱性，都有可能保護類似於反演纏繞數的 Z 分類拓撲不變量。

本研究中提出的拓撲晶體絕緣體的發現對量子計算和自旋電子學等領域有什麼潛在的應用價值？

本研究中提出的拓撲晶體絕緣體的發現，對量子計算和自旋電子學等領域具有重要的潛在應用價值：
量子計算:

拓撲量子比特: 拓撲晶體絕緣體的邊界態具有拓撲保護性，對外界擾動不敏感，可以用来构建拓撲量子比特，提高量子計算的穩定性和容错性。
馬約拉納費米子: 某些拓撲晶體絕緣體可以支持馬約拉納費米子，它是一種自身反粒子的特殊粒子，可以用於構建容錯性更高的拓撲量子比特。
自旋電子學:

低功耗電子器件: 拓撲晶體絕緣體的邊界態具有無耗散傳輸的特性，可以用来构建低功耗的电子器件，例如低功耗晶体管和自旋场效应晶体管。
自旋电子器件: 拓撲晶體絕緣體的邊界態通常具有自旋動量鎖定特性，即電子的自旋方向与其运动方向相关联，可以用来构建新型自旋电子器件，例如自旋过滤器和自旋阀。
其他應用:

拓撲激光: 拓撲晶體絕緣體可以用来构建拓撲激光，它具有低阈值、高效率和单模工作的特性。
拓撲超材料: 拓撲晶體絕緣體的原理可以应用于设计和制备具有新奇光学、声学和力学特性的拓撲超材料。
总而言之，本研究提出的拓撲晶體絕緣體的發現，為量子計算、自旋電子學等領域提供了新的思路和材料基础，具有重要的科学意义和应用价值。