在無定向 4-循環有向圖中的定向樹

核心概念

本文證明了，在最大出度和入度至少為 k 且最小半度至少為 k/2 且不包含定向 4-循環的有向圖 D 中，D 包含每個具有 k 個弧的定向樹 T。如果 T 是反向樹或樹狀圖，則可以稍微改進此結果。

摘要

這篇論文屬於圖論領域，特別是關於在有向圖中嵌入定向樹的研究。作者證明了在滿足特定條件的有向圖中，一定存在特定類型的定向樹。

定理 1： 對於一個具有 k 個弧的定向樹 T，如果一個有向圖 D 滿足以下條件：

最小半度 δ0(D) ≥ k/2
不包含定向 4-循環
最大出度和入度 ∆±(D) > ∆tot(T) (T 的最大總度)
那麼 D 一定包含 T 作為子圖。

推論 2： 對於一個有向圖 D，如果滿足以下條件：

最小半度 δ0(D) ≥ k/2
最大出度和入度 ∆±(D) ≥ k
不包含定向 4-循環
那麼 D 一定包含所有具有 k 個弧的定向樹作為子圖。

定理 3： 對於一個具有 k 個弧的反向樹 T，如果一個有向圖 D 滿足以下條件：

最小偽半度 ¯δ0(D) ≥ k/2
所有 4-循環都是定向的
最大出度和入度 ∆±(D) > ∆tot(T) (T 的最大總度)
那麼 D 一定包含 T 作為子圖。

定理 4： 對於一個以最大總度頂點為根的 k 弧出樹狀圖 T，如果一個有向圖 D 滿足以下條件：

不包含定向 4-循環
最大出度 ∆+(D) > max{∆+(T), k/2} (T 的最大出度)
最小出度 δ+(D) ≥ k/2 - λ，其中 λ = 1 (如果 D 是定向圖) 或 λ = 0 (其他情況)
那麼 D 一定包含 T 作為子圖。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Oriented Trees in Digraphs without Oriented $4$-cycles

by Maya Stein, ... 於 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13483.pdf

深入探究

如何將這些結果推廣到更一般的有向圖，例如允許存在特定類型的定向 4-循環？

這個問題的答案可以分為幾個方向：

放寬對定向 4-循環的限制: 本文主要關注的是不包含定向 4-循環的有向圖，或只允許存在特定類型的定向 4-循環（例如 Theorem 3 中只允許完全定向的 4-循環）。一個自然的想法是進一步放寬限制，允許存在更多類型的定向 4-循環。

Problem 6.2 正是朝著這個方向提出的問題，其目標是找到一個最小的定向 4-循環集合 C'4，使得任何不包含 C'4 中任何一個循環作為子圖的有向圖 D，如果滿足最小半度至少為 k/2 且 ∆±(D) ≥ k，則 D 包含所有 k 條邊的有向樹。
文中也提供了一個例子說明，至少有一種類型的定向 4-循環必須被禁止。

研究其他禁止的子圖: 除了定向 4-循環，還可以考慮禁止其他類型的子圖，例如完全二部圖 K2,s。

Question 6.3 探討了這個方向，詢問是否存在一個 s ≥ 3，使得任何不包含 K2,s 作為子圖的有向圖 D，如果滿足最小半度至少為 k/2 且 ∆±(D) ≥ k，則 D 包含所有 k 條邊的有向樹。

結合其他圖論條件: 可以考慮結合其他圖論條件來放寬對定向 4-循環的限制，例如：

圍長: 類似於 Brandt and Dobson [3] 和 Jiang [9] 對無向圖的研究，可以探討在有向圖中，圍長條件如何影響有向樹的嵌入問題 (Question 6.4)。
擴展性: 可以研究其他類型的擴展性條件，例如頂點擴展性、邊擴展性等，如何影響有向樹的嵌入結果。

總之，將本文結果推廣到更一般的有向圖需要對定向 4-循環的限制進行更精細的分析，並可能需要結合其他圖論條件來得到更一般的結果。

是否存在其他類型的圖論問題可以利用本文提出的方法和技術來解決？

本文提出的方法和技術主要集中在解決有向圖中的嵌入問題，特別是有向樹的嵌入問題。這些方法和技術可以被應用於解決其他類似的圖論問題，例如：

其他類型子圖的嵌入: 本文主要研究了有向樹的嵌入問題，可以考慮將其推廣到其他類型子圖的嵌入問題，例如：

有向路徑: 如文中提到的，可以探討在最小半度為 k/2 的有向圖中，是否一定包含所有 k 條邊的有向路徑。
有向圈: 可以研究在滿足特定條件的有向圖中，是否存在特定長度的有向圈。
其他有向圖: 可以將研究對象擴展到更一般的有向圖，例如有向仙人掌圖、有向外平面圖等。

子圖計數問題: 本文的方法和技術可以被應用於解決子圖計數問題，例如計算一個有向圖中包含的特定類型子圖的數量。

圖分解問題: 可以利用本文的方法和技術來研究圖分解問題，例如將一個有向圖分解成若干個特定類型的子圖。

圖染色問題: 可以探討如何利用本文的技術來研究有向圖的染色問題，例如定向染色、弧染色等。

總之，本文提出的方法和技術為解決有向圖中的嵌入問題提供了一個新的思路，並且可以被應用於解決其他類似的圖論問題。

如果將定向樹替換為其他類型的有向圖，例如有向路徑或有向循環，那麼是否仍然可以得到類似的嵌入結果？

將定向樹替換為其他類型的有向圖，例如有向路徑或有向循環，是否仍然可以得到類似的嵌入結果，取決於所考慮的有向圖類型和宿主圖的性質。

有向路徑: 對於有向路徑，如前文所述，存在一個猜想認為，最小半度大於 k/2 的有向圖一定包含所有 k 條邊的有向路徑。這個猜想目前還沒有被完全證明，但已經取得了一些進展。這表明，對於有向路徑，可能可以得到比有向樹更強的嵌入結果。

有向循環: 對於有向循環，情況則更加複雜。

一方面，存在一些結果表明，在滿足特定條件的有向圖中，可以保證存在特定長度的有向循環。
另一方面，也很容易構造出一些反例，說明在某些條件下，即使宿主圖的最小半度很高，也不一定包含所有 k 條邊的有向循環。

總之，將定向樹替換為其他類型的有向圖後，是否仍然可以得到類似的嵌入結果，需要具體問題具體分析。需要根據所考慮的有向圖類型和宿主圖的性質，來判斷是否可以得到類似的結果，或者需要更强的條件才能保證嵌入的存在性。