基於單塊凸限制和隱式偽時間步進的歐拉方程穩態解計算方法

核心概念

本文提出了一種基於單塊凸限制 (MCL) 和隱式偽時間步進的數值方法，用於計算可壓縮歐拉方程的穩態解，並通過數學分析證明了該方法的解的存在性和保不變域性質，並通過數值實驗驗證了其有效性。

摘要

文獻綜述

• 近年來，用於求解歐拉方程的保界格式取得了顯著進展，特別是通量修正傳輸 (FCT) 演算法，該演算法確保了密度和壓力（內能）的連續有限元逼近的非負性 [13, 21, 36, 42]。
• 這些顯式預測-校正方法的一個潛在缺點是，它們需要使用較小的時間步長，並且不能收斂到穩態解。
• Gurris 等人 [25] 採用的隱式代數通量校正方案沒有這個限制。但是，即使對於收斂的解，也不能保證正性保持。
• [33] 中引入的單塊凸限制 (MCL) 方法支持使用一般的時間積分器。非線性離散問題的殘差對於單個時間步長和穩態極限都有很好的定義。
• 如果使用顯式強穩定性 (SSP) 保持 Runge-Kutta 方法 [20] 執行時間推進，則可以輕鬆地按照 [21] 中 FCT 類型凸限制方法的分析來證明 Shu-Osher 階段的不變域保持 (IDP) 性質1。
• 可以使用 [6, 40] 中開發的理論框架來執行線性平流方程的隱式 MCL 方案的分析。到目前為止，還沒有為歐拉方程的隱式 MCL 離散化提供 IDP 性質的正式證明。
• 我們在本文中通過將 Krasnoselskii 類型定理應用於我們設計為 IDP 的定點迭代來填補這一空白。

研究方法

• 本文使用單塊凸限制 (MCL) 方法來強制執行可壓縮歐拉方程的隱式有限元離散化中的相關不等式約束。
• 為了避免虛假振盪，我們還對密度、速度分量和比總能的中間狀態施加了局部最大值原理。
• 對於後向歐拉時間步進，我們通過構造滿足 Krasnoselskii 類型定理要求的定點迭代，展示了完全離散 MCL 方案的不變域保持 (IDP) 性質。
• 我們用於非線性離散問題的迭代求解器採用了更有效的定點迭代。
• 相關線性系統的矩陣是一種穩健的低階雅可比近似，它利用了通量函數的齊次性。
• 有限的抗擴散項被明確處理。我們使用正性保持作為非線性迭代的停止準則。
• 第一次迭代產生線性化半隱式問題的解。該解具有離散守恆性質，但通常不是 IDP。如果檢測到任何非 IDP 狀態，則執行進一步的迭代。
• 我們的分析保證了 IDP 極限的存在。為了促進收斂到穩態解，我們在每個時間步結束時執行自適應顯式欠鬆弛。
• 適當鬆弛因子的計算基於節點熵殘差的近似最小化。
• 標準二維測試問題的收斂歷史說明了所提出演算法和替代解決方案策略的性能。

主要貢獻

• 本文證明了基於單塊凸限制 (MCL) 和隱式偽時間步進的歐拉方程穩態解計算方法的解的存在性和保不變域性質。
• 本文提出了一種基於低階雅可比近似的迭代求解器，並使用正性保持作為非線性迭代的停止準則。
• 本文提出了一種新的顯式欠鬆弛方法，用於穩態計算，並基於節點熵殘差的近似最小化來選擇鬆弛因子。

總結

• 本文提出了一種基於單塊凸限制 (MCL) 和隱式偽時間步進的數值方法，用於計算可壓縮歐拉方程的穩態解。
• 通過數學分析證明了該方法的解的存在性和保不變域性質，並通過數值實驗驗證了其有效性。
• 該方法可以處理高 CFL 數和高馬赫數的流動問題，並且可以有效地收斂到穩態解。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Monolithic convex limiting and implicit pseudo-time stepping for calculating steady-state solutions of the Euler equations

by Paul Moujaes... 於 arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2407.03746.pdf

深入探究

本文提出的方法能否推廣到其他類型的雙曲守恆律方程？

本文提出的方法基於單塊凸限制 (MCL) 和隱式偽時間步進，用於求解可壓縮歐拉方程的穩態解。該方法的核心思想是：

利用凸限制技術保證數值解的物理合理性: 對於歐拉方程，這意味著保證密度和壓力（內能）的非負性，以及其他物理量的局部極值原理。
採用隱式時間離散化提高計算效率: 隱式方法允許使用更大的時間步長，從而加速收斂到穩態解。

該方法的推廣性取決於以下幾個方面：

其他雙曲守恆律方程的特性: 對於具有不同特性的雙曲守恆律方程，需要設計相應的凸限制器以保證數值解的物理合理性。例如，對於淺水波方程，需要保證水深為非負值。
雅可比矩陣的構造: 本文提出的方法利用了歐拉方程通量函數的齊次性來構造低階雅可比矩陣。對於其他類型的方程，可能需要採用不同的線性化策略。
總體而言，本文提出的方法具有良好的推廣性，可以應用於其他類型的雙曲守恆律方程。然而，需要根據具體方程的特點對方法進行適當的調整和擴展。

如果不使用正性保持作為停止準則，而是使用其他誤差指標，那麼該方法的收斂性和解的質量會如何變化？

使用正性保持作為停止準則的主要優點是它能確保數值解的物理合理性。如果使用其他誤差指標，例如：

殘差: 當殘差降低到預設容差以下時停止迭代。
解的變化量: 當解的變化量降低到預設容差以下時停止迭代。
這些指標可能無法準確反映數值解是否滿足物理約束。因此，使用這些指標作為停止準則可能會導致以下問題：

收斂性問題: 如果數值解在迭代過程中違反了物理約束，可能會導致數值不穩定，從而影響收斂性。
解的質量下降: 即使數值解最終收斂，也可能無法準確捕捉到物理現象，因為它可能包含非物理的振盪或其他誤差。
然而，在某些情況下，使用其他誤差指標作為停止準則也可能有一定的優勢：

計算效率: 與檢查正性保持相比，計算殘差或解的變化量通常更簡單、更高效。
靈活性: 其他誤差指標可以更容易地與自適應時間步長控制等技術相結合。
總之，選擇合適的停止準則需要權衡計算效率、解的質量和物理合理性等因素。

本文提出的方法能否與其他數值技術（例如，自適應網格加密）相結合，以進一步提高計算效率和解的精度？

本文提出的方法可以與其他數值技術相結合，例如自適應網格加密 (AMR)，以進一步提高計算效率和解的精度。

自適應網格加密: AMR 技術可以根據解的特性動態調整網格分辨率。在解變化劇烈的區域使用更精細的網格，而在解相對平滑的區域使用較粗糙的網格。
結合 MCL 和 AMR: 將 MCL 方法與 AMR 技術相結合可以有效地提高計算效率和解的精度。在使用 AMR 技術加密網格的同時，MCL 方法可以確保數值解在所有網格層次上都保持物理合理性。
除了 AMR 之外，還可以考慮結合其他數值技術，例如：

高階時間積分方法: 例如，可以使用高階龍格-庫塔方法或線性多步法來提高時間精度。
隱式-顯式 (IMEX) 方法: 對於包含不同時間尺度過程的問題，可以使用 IMEX 方法對不同的過程採用不同的時間離散化方法，以提高計算效率。
總之，將本文提出的方法與其他數值技術相結合可以充分發揮各自的優勢，從而構建更精確、更高效的數值方法。