核心概念
本文利用散射振幅的色散關係和半定規劃,計算了包含宇稱破壞算子的標量張量有效場論中威爾遜係數的因果關係約束。
廣義相對論在理解引力動力學方面發揮了重要作用,並且已經通過許多實驗在弱場狀態下得到了充分的驗證。然而,在強場狀態下,例如涉及雙黑洞和中子星的狀態,仍然有可能出現偏離廣義相對論的情況。近年來,來自 LIGO 和 Virgo 的引力波觀測為在這種極端環境中探測這些現象開闢了一條新途徑。強狀態偏差的一種可能性涉及引入額外的自由度,而標量張量理論由於其簡單性,代表了此類理論的重要一類。事實上,純引力 EFTs 如果要產生與廣義相對論的顯著偏差,似乎要麼違反因果關係,要麼在計劃中的引力波實驗中不可觀測。
人們越來越關注標量場非最小耦合的模型。當模型尊重宇稱時,它通常涉及 Gauss-Bonnet 不變量。標量-Gauss-Bonnet (sGB) 模型尤其值得注意,因為它允許毛狀黑洞解,以及表現出自發標量化的現象,並且正在通過各種天體物理觀測進行嚴格的測試。另一方面,動力學 Chern-Simons (dCS) 理論的特點是存在 Pontryagin 密度,它是 Gauss-Bonnet 拓撲不變量的宇稱破壞對應物,並且具有來自更基本理論的各種起源。 dCS 模型中的 Pontryagin 耦合也被證明會產生毛狀黑洞。在 dCS 框架內,已經對引力波和宇宙學進行了廣泛的現象學研究。宇稱破壞 dCS 理論的新特徵包括引力波雙折射和宇宙微波背景中不同的宇稱破壞模式。 dCS 耦合已經受到當前引力波觀測的限制。各種其他宇稱破壞引力模型已被證明會在天體物理學和宇宙學中產生有趣的效果。
另一方面,基於量子場論基本原理(如么正性、解析性和交叉對稱性)的正性或因果關係約束為約束這些引力有效場論 (EFT) 的參數空間提供了一個強大的工具。這些約束源於紫外理論和低能 EFTs 之間以色散關係的形式存在的聯繫,這些關係將紫外么正性約束傳遞給低能威爾遜係數。在單個標量 EFT 中正向 2 到 2 散射的最簡單情況下,此方法導致 𝑠2 係數為正的要求。在正向正性約束的多場推廣中,自然會出現凸錐或譜面體的幾何表示。這些正性約束已被用於約束標準模型 EFT (SMEFT) 的參數空間。
在遠離正向極限的情況下,制定了各種標量正性約束,以及對具有自旋的粒子的擴展。當施加完全交叉對稱性時,即當雙通道色散關係由 𝑠-𝑡 零約束補充時,可以獲得 EFT 係數比率的雙邊正性約束。三重對稱正性約束可以很容易地推廣到具有多個自由度和大量情況的模型。當使用紫外部分么正性的非正部分時,也可以獲得 EFT 係數的上限。隨後,人們提出了獲得相同最優約束的替代方法,包括使用完全交叉對稱色散關係和雙矩形式主義。
在存在引力的情況下,由於 𝑡 通道引力子交換而出現了新的微妙之處,這會導致色散關係的正向極限出現分歧,從而阻止了色散關係在 𝑡 方面的泰勒展開。與自旋小於 2 的理論不同,自旋 2 𝑡 通道極點的存在導致 𝑠2 係數的負下限,這些下限被普朗克尺度抑制。然而,𝑠 展開的色散關係仍然可以被視為關於 𝑡 的單參數求和規則族,允許通過 𝑡 的連續決策函數進行函數優化。該方法已應用於約束修正愛因斯坦引力的 EFTs。當尊重宇稱時,完全交叉對稱正性約束也被用於約束標量張量理論。在 [84, 89–95] 中可以找到關於標量張量理論的其他一些正性約束,這些約束要麼不依賴於完全交叉對稱性,要麼忽略了 𝑡 通道極點的影響。約束也可以從引力 EFTs 中的因果關係條件推導出來。在原始自舉方法中也可以推導出類似的互補約束,例如 [106–111](參見 [112] 以獲取回顧)。在引力設置中,正性/因果關係約束的其他應用可以在例如 [113–132] 中找到。
在本文中,我們將因果關係約束的框架擴展到約束宇稱破壞理論中的引力 EFT 耦合。假設該理論在 EFT 截止以下弱耦合,我們採用低能振幅的樹級近似。我們首先推導雙通道色散關係,並另外施加缺失的 𝑠-𝑡 交叉對稱性。這導致了一系列包含動量轉移 𝑡 的求和規則,因為 𝑡 通道引力子交換阻止了 𝑡 方面的進一步展開。然後使用這些求和規則快速計算威爾遜係數的冪,即估計這些係數的大小,這有助於後面的數值評估。之後,應用 𝑡 通道解析函數半定優化來數值獲得各種 EFT 係數的因果關係約束,研究約束對各種因素的依賴性,並半解析地檢查一些結果。例如,我們可以從求和規則中直觀地提取約束相對於最低紫外態的標度,並發現它們與數值結果非常匹配。我們還簡要討論了這些因果關係約束的觀測含義。與宇稱守恆理論的主要區別在於,宇稱破壞算子現在通過 Levi-Civita 符號與外部極化的收縮而對散射振幅的虛部做出貢獻,因此要評估的半定矩陣的維數更大,顯著增加了計算複雜度。本文的主要結果包括:
我們首先計算涉及動力學 Chern-Simons 耦合和標量-Gauss-Bonnet 耦合的因果關係約束,其中 Pontryagin(拓撲)不變量和 Gauss-Bonnet 不變量分別由下式給出
˜R(2) = 𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎𝜖𝜇𝜈𝛼𝛽𝑅𝛼𝛽𝜌𝜎/2,
G = 𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎−4𝑅𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈+ 𝑅2.
(1.1)
對於領先階標量張量耦合 𝛽1𝜙G/2 和 ˘𝛽1𝜙˜R(2)/2 的因果關係約束,我們發現約束本質上可以表述為對 | ¯𝛽1| 的約束,其中
¯𝛽1 ≡𝛽1 + 𝑖˘𝛽1 = | ¯𝛽1|𝑒𝑖𝜑1,
(1.2)
因為約束對相位 𝜑1 = arg ¯𝛽1 不敏感。因此,宇稱守恆耦合 𝛽1 和宇稱破壞耦合 ˘𝛽1 的因果關係約束可以通過對複雜參數 ¯𝛽1 的約束的簡單投影獲得;見圖 3。如果 G 和 ˜R(2) 耦合到不同的標量,這種偶然的簡併性將被解除。另一方面,固定高階係數(到較小的值)可以顯著降低對 𝛽1 和 ˘𝛽1 的約束。所有這些都可以半解析地直觀地理解。特別是,約束對 𝜑1 的不敏感性源於相關求和規則中固有的螺旋度結構。
通常,因果關係約束不能僅僅表述為對複雜參數模量的約束。例如,對於拉格朗日項 𝛽2𝜙2G/4 + ˘𝛽2𝜙2 ˜R(2)/4 和 𝛾2∇𝜇𝜙∇𝜇𝜙R(2)/2 + ˘𝛾2∇𝜇𝜙∇𝜇𝜙˜R(2)/2,在存在非零 ¯𝛽1 的情況下,| ¯𝛽2| = |𝛽2 + 𝑖˘𝛽2| 和 | ¯𝛾2| = |𝛾2 + 𝑖˘𝛾2| 的因果關係約束分別取決於比率 𝛽2/ ˘𝛽2 和 𝛾2/ ˘𝛾2(見圖 17)。對於零 ¯𝛽1,| ¯𝛽2| 和 | ¯𝛾2| 再次變得對複角不敏感,原因與 | ¯𝛽1| 對其角度的不敏感性相同。
我們發現一些宇稱破壞耦合的上限是它們的宇稱守恆對應物。例如,在振幅的 O((𝑠, 𝑡, 𝑢)4) 階,它涉及拉格朗日項 𝛼4(R(2))2/4、𝛼′
4( ˜R(2))2/4 和 ˘𝛼4R(2) ˜R(2)/4,宇稱破壞係數 ˘𝛼4 的上限是宇稱守恆係數 𝛼4 和 𝛼′
4(見圖 12)。這個事實可以用於根據對宇稱守恆效應的觀測約束來約束宇稱破壞效應,如果宇稱守恆效應更容易觀察到,這將特別有用。當然,重要的是,它不能反過來工作,我們始終可以一致地將所有宇稱破壞係數設置為零,而不會對宇稱守恆係數引入任何約束。此外,一些宇稱破壞係數的上限是高階係數。例如,˘𝛽1 和 ˘𝛾0 的上限是 𝛼4 和 𝛼′
4(見圖 12)。然而,在這種情況下,宇稱守恆的 𝛽1 和 𝛾0 也受相同的高階係數限制。
目前對 dCS 耦合 ˘𝛽1 的觀測約束顯著弱於對 sGB 耦合 𝛽1 的觀測約束,儘管兩者的理論因果關係約束強度相當(見圖 18)。因此,預計宇稱破壞係數的因果關係約束將在限制即將進行的觀測中的強引力效應方面發揮更突出的作用。