將數值化應用於超現實積分

核心概念

本文提出了一種基於數值化概念的超現實積分新方法，並探討了其在超現實數學領域的應用。

摘要

摘要
本文介紹了「數值化」的概念，這是一種比基數更精確的集合大小度量方法，並將其應用於超現實積分中。作者提出了一個明確的公式來表示某些沒有累積點的序列的數值化，並給出了具體的例子。然後，作者引入了一個與狄拉克δ函數具有許多相似性質的超現實值函數，並利用它推導出超現實值的積分性質。最後，作者提供了一個在超現實域上積分超現實值函數的公式，該公式以類似於勒貝格測度的方式使用了數值化，並推導出了一些通過積分連接超現實數的新公式。本文提出的超現實積分方法與其他作者提出的方法的不同之處在於，它不滿足關於無限因子的線性性質。作者認為，保持這條規則完整是許多定義超現實積分的嘗試失敗的原因。對於所提出的公式，本文提供了 Wolfram Mathematica 語言的代碼。
1. 將數值化映射到超現實數
多位作者[1][2][3] 引入了數值化的概念，作為集合大小的度量，力求滿足歐幾里得的「整體大於部分」原則，該原則可以用以下等式正式表示：
ν(A) < ν(B) if A ⊂ B,
其中 ν 是數值化。本文描述的方法試圖以最簡單的方式實現這一點，同時允許以封閉形式明確推導數值化的值。
數值化的梳狀形式
我們正式地將無處稠密集 A 的數值化表示為
ν(A) = ∫{−∞}^{∞} Σ{a_i∈A} δ(x − a_i) dx,
其中 a_i 是 A 的元素，δ(x) 是狄拉克δ函數。事實上，每次遇到 A 的元素時，該積分的偏和自然會增加 1。我們將這種形式的積分稱為數值化的「梳狀形式」。我們假設數值化在改變集合元素的符號方面是不變的，因此
ν(A) = ν(−A).
數值化的平滑形式
令 f(x) 為具有有限支撐 [a, b]、曲線下面積為 1 且質心位於 x_0 的有界實函數：
∫{a}^{b} f(x) dx = 1, ∫{a}^{b} xf(x) dx = x_0.
我們假設這兩個積分是相等的：
ν([x_0]) = ∫{−∞}^{∞} δ(x − x_0) dx = ∫{a}^{b} f(x) dx.
後者是 ν([x_0]) 的平滑形式之一。
超現實數可以被認為是一個 H 域，其中函數的芽（滿足哈代域的要求）在無窮遠處自然嵌入到超現實數中，使得恆等函數 f(x) = x 的芽被映射到 ω [4]。在這種情況下，如果 S 是與函數 f(x) 在無窮遠處的芽相對應的純無限超現實數，我們假設以下發散積分等價於 S：
ν(S) = ∫_{−∞}^{∞} f(x − c) dx = S, (1)
其中 c 是任意實數。
通過這種方式，數值化的平滑形式可以映射到超現實數。
例子
求 R 的一個子集，其數值化為 ω^2。數字 ω^2 是純無限的，因為它的康威範式 {∅|∅} 沒有有限和無窮小項。在規範嵌入和上述等價性下，
ω^2 = ∫_{−∞}^{∞} x^2 dx.
現在，我們取最後一個積分，並將其分成面積等於 1 的片段，在我們的例子中：
∫{0}^{1} x^2 dx + ∫{1}^{√3} x^2 dx + ∫_{√3}^{√6} x^2 dx + … = 1 + 1 + 1 + … = ω.
每個積分的質心位於
{1/2, (1 + √3)/2, (√3 + √6)/2, …},
所以集合
{1/2, (1 + √3)/2, (√3 + √6)/2, …}
的數值化為 ω^2。
顯式公式
上述定義可以用以下緊湊形式表示：
ν(a_1, a_2, a_3, …) = ∫{−∞}^{∞} (D^{−1}[Σ{k = 1}^{∞} δ(x − a_k)]) dx,
其中 D^{−1} 是反函數運算符。該公式不僅適用於純無限數，也適用於包含有限和無窮小部分的數，因此我們建議將應用此公式的結果稱為全數值化，並在去除無窮小部分後，稱為精簡數值化 ν_r。根據本文提出的方法計算的不同序列之間的精簡數值化差異與 James Propp 在 [5] 中提出的方法獲得的差異一致。
MATHEMATICA 代碼
以下是查找非負增長序列 {a_k}（無累積點）的數值化的超現實表達式的 Mathematica 代碼：
a[k_] := k^2;
SolveValues[D[Sum[a[k], k], k] == [Omega], k] /. C[1] -> 0 //
FullSimplify // Expand
相反的過程，找到具有給定數值化作為超現實表達式 S 的序列，可以使用以下代碼完成：
S = Log[[Omega]];
DifferenceDelta[Integrate[Normal[SolveValues[S == k, [Omega]]], k], k] /. C[1]
-> 0 // FullSimplify // Expand
獲得的實數子集的數值化列表可以在附錄 1 中看到。
2. 超現實δ函數
假設我們想獲得一個函數來計算函數在區間上的根的數量。對於可微函數 f(x)，以下表達式適用於適用的情況：
N(roots of f(x) on [a, b]) = ∫_{a}^{b} |f'(x)| δ(f(x)) dx.
現在，我們將運算符 |f'(x)| δ(f(x))（定義為
|f'(x)| δ(f(x)) = Lim_{ε→0} |f'(x)|/(2ε) if |f(x)| < ε,
|f'(x)| δ(f(x)) = 0 otherwise,
其中 x 是積分變量）稱為「超現實δ函數」。我們將進一步概括它。
首先，我們應該注意到，在所有其參數是積分變量本身而不是其某些非平凡函數的情況下，|f'(x)| δ(f(x)) 的行為都像常規δ函數 δ(x) 一樣。特別是，它的拉普拉斯變換和傅立葉變換與常規δ分佈相同。
要注意的第二件事是，它滿足以下性質：
∫_{−∞}^{∞} |f'(x)| δ(f(x)) dx = 1,
這與單位脈衝函數的類似性質一致，而不像常規δ分佈的性質
∫_{−∞}^{∞} δ(x) dx = 1.
讓我們考慮常數函數 f(x) = 1 的傅立葉變換：
F[1] = ∫_{−∞}^{∞} e^{−2πixt} dt.
形式上，右手邊的表達式在任何 x ≠ 0 時都等於 0（通過切薩羅正則化）。但在 x = 0 時，我們得到發散積分
∫_{−∞}^{∞} dt.
這個發散積分對應於超現實數 ω。
因此，我們可以正式寫成：
F[1] = ω δ(x).
應用傅立葉逆變換，
1 = F^{−1}[ω δ(x)] = ω F^{−1}[δ(x)] = ω.
這允許我們以這種方式概括超現實δ函數：
δ_s(x) = 1 if x = 0,
δ_s(x) = 0 otherwise. (2)
我們可以看到，在這個分段定義下，性質 δ_s(0) = ω 成立。這個函數 δ_s(x) 是一個完整的超現實值函數，並且可以在任何點進行評估。特別是，由於
d(H(x))/dx = δ_s(x),
我們可以認為它（在某種意義上）是赫維賽德階躍函數 H(x) 的導數。這向我們表明，函數在某一點的導數為無窮大，表示函數在那一點發生了跳躍。
將 δ_s(0) 擴展為發散積分，超現實δ函數可以提高到任何冪：
δ_s(0)^n = (∫{−∞}^{∞} dt)^n = ∫{−∞}^{∞} … ∫_{−∞}^{∞} dt_1 … dt_n = ω^n. (3)
應該注意的是，超現實δ函數在超現實值函數方面是不可微的。
3. 在實數子集上積分超現實值
將關係式 (3) 推廣到 δ_s(0) 的任意解析函數 f，我們有：
∫_{a}^{b} f(δ_s(x − c)) dx = (b − a)f(ω), (4)
對於任意實數 a、b 和 c，其中表達式收斂。根據定義 (1)，如果 f(ω) 是一個純無限超現實數，則這等於 (b − a)f(ω)。
注意到我們的 H 域配備了求導運算 d/dx，我們可以像這樣重寫它：
∫{a}^{b} f(δ_s(x − c)) dx = ∫{a}^{b} f(d[H(x − c)]/dx) dx, (5)
其中 H(x) 是赫維賽德階躍函數。但是，如果我們在積分下的表達式可以在多個點取超現實值的集合上進行積分，則很自然地將此結果乘以支撐的數值化：
∫_A f(d[H(x)]/dx) dx = ν(A)f(ω). (6)
人們可以很容易地注意到，以這種方式定義的超現實積分通常不滿足關於無限因子 α 的線性：
α ∫_A f(x) dx ≠ ∫_A αf(x) dx.
例如，如果 f(x) 是單位脈衝函數 δ(x)，則
ω ∫{−∞}^{∞} δ(x) dx = ω ≠ ∫{−∞}^{∞} ωδ(x) dx = 1.
在我們看來，保持這條規則完整是許多定義超現實積分的嘗試失敗的原因。儘管如此，其他作者仍在努力保留這條規則 [6]。
因此，
∫_{a}^{b} f(ω δ(x − c)) dx = f(ω). (7)
4. 連續統的數值化
關於符號的說明
由於超現實積分可能取決於單點是否包含在積分区間中，因此從現在開始，在實數極限 a 和 b 的上下文中，我們使用符號 ∫^{∗}{a} f(x) dx 和 ∫{∗}^{b} f(x) dx 來表示積分的極限 a 和 b 是半包含的，換句話說，
∫^{∗}{a} f(x) dx = Lim{ε→0} ∫{a+ε}^{b} f(x) dx,
∫{∗}^{b} f(x) dx = Lim_{ε→0} ∫_{a}^{b−ε} f(x) dx.
第一個不可數序數
超現實域的自同構賦予我們在選擇第一個不可數序數 ω_1 時的一些自由。我們可以自由地使用公式 (7) 將其定義為區間 [0, 1] 的數值化：
ω_1 = ν([0, 1]) = ∫^{∗}_{0} dx. (8)
從公式 (6) 可以立即看出，ω_1 也可以這樣表示：
ω_1 = ∫{−∞}^{∞} H(x)H(1 − x) dx = ∫{∗}^{1} dx. (9)
重要的是只包含一個積分極限（或兩個都半包含），因為數值化的有限部分對應於集合的歐拉特徵，並且我們希望 ω_1 的有限部分為零。
5. 在超現實域上積分超現實函數
顯式公式
我們假設牛頓-萊布尼茲公式對於超現實數的積分是有效的。因此，符號化地獲得的解析函數的反導數允許計算超現實數上的定積分。基於這個假設和公式 (6)，我們提出了以下顯式公式。令 f(x) 是在超現實域上定義的並且 f(x) = F(x) + φ(x) 的超現實值函數，其中 F(x) 只有純無限部分，而 φ(x) 只有有限部分。然後，
∫{a}^{b} f(x) dx = π(F(b) − F(a)) + ∫{a}^{b} φ(x) dx, (10)
其中第一個積分應該正式地進行，就好像積分下的所有超現實數都是實常數一樣，並借助牛頓-萊布尼茲公式。在第二個積分中，符號 Fin[f(x)] 表示取有限部分。對於第二個積分，也可以使用牛頓-萊布尼茲公式。
在我們提出的方法中，積分下表達式的無窮小部分不會影響積分結果，可以忽略。
MATHEMATICA 代碼
這是使用公式 (10) 在超現實域上積分任意超現實函數的 Mathematica 代碼。為簡單起見，在輸入行中，w 和 W 分別代表 ω 和 ω_1（如果要在輸入中使用任意超現實數，則應將其指定為 A[w] 或 B[w] 以區別於實數）。
f[x_] = Exp[xw];
a = 0;
b = α;
f[x_] = f[x] /. W -> W[w];
Unprotect[Power];
0^0 = 1;
Protect[Power];
int = PiWIntegrate[D[f[t], w], {t, a, b}] +
Integrate[Fin[f[t]], {t, a, b}];
int = FullSimplify[
Normal[If[a == b, PiD[f[a], w], int, int] /.
W[w] :> W /. Derivative[1][W][w] -> [W] /.
FullForm[Derivative[d_][W]] :> ([PartialD]^d)[W]]];
Print[Inactivate[
Integrate[
f[x] /. W[w] -> W /. Derivative[1][W][w] -> [W] /.
FullForm[Derivative[d_][W][w]] :> ([PartialD]^d)[W] /.
w -> ω /. W -> Subscript[ω, 1], {x,
a /. w -> ω /. W -> Subscript[ω, 1],
b /. w -> ω /. W -> Subscript[ω, 1]}], Integrate], "=",
int /. w -> ω /. W -> Subscript[ω, 1]]
它沒有對有限部分的積分進行評估，因為找到超現實數 Fin[f(t)] 的有限部分是一個非平凡的問題（儘管如果表達式的康威範式已知，則可以直接進行），但對於 ω_1 中的一些數字，可以嘗試通過拉普拉斯變換進行正則化：
Fin[e_] := FullSimplify[(PowerExpand[e] /. Log[w] -> 0 /. 1/w -> 0 /.
1/w^(p_) :> 0 /. w -> 0) +
Limit[Evaluate[LaplaceTransform[D[e, w], w, x]] +
Evaluate[LaplaceTransform[D[e, w], w, -x]], x -> 0]/2 /.
Infinity -> 0 /. -Infinity -> 0 /. FullForm[Derivative[d_][W][p_]] :>
0]
或者，可以使用內置的 Mathematica 正則化機制：
Fin[e_] := (PowerExpand[f[t]] /. W[w] -> 0 /. Log[w] -> 0 /. 1/w -> 0 /.
1/w^(p_) :> 0 /. w -> 0 /. 1/W[w] -> 0) +
Limit[FullSimplify[s*Sum[D[e, w] /. w -> s*w, {w, 1, Infinity},

Regularization -> "Dirichlet"]], s -> 0]
附錄 2 中給出了一些超現實不定積分的列表。
附錄 1. 實數序列的數值化
以下是各種實數子集（{a_k}）的計算出的全數值化（即包含無窮小部分）ν({a_k}) 和精簡數值化（即沒有無窮小部分）ν_r({a_k}) 的列表：

ν({k}) = ω + 1/2; ν_r({k}) = ω
ν({k^2}) = (2 ω^(3/2))/3 + ω/2 + 1/12; ν_r({k^2}) = (2 ω^(3/2))/3 + ω/2
ν({k^3}) = ω^2/2 + ω/2 + 1/24; ν_r({k^3}) = ω^2/2 + ω/2
ν({√k}) = (2 ω^(3/2))/3; ν_r({√k}) = (2 ω^(3/2))/3
ν({Log[k]}) = ω Log[ω] − ω; ν_r({Log[k]}) = ω Log[ω] − ω
ν({1, 2, 1, 2, 1, 2, …}) = ω/2 + 1/2; ν_r({1, 2, 1, 2, 1, 2, …}) = ω/2
ν({1, 1, 2, 1, 1, 2, …}) = ω/3 + 1/3; ν_r({1, 1, 2, 1, 1, 2, …}) = ω/3
附錄 2. 一些超現實函數的反導數（c ∈ R 且 n ∈ N）

∫ x^n dx = x^(n + 1)/(n + 1) + c
∫ 1/x dx = Log[x] + c
∫ e^x dx = e^x + c
∫ ω^x dx = ω^x/Log[ω] + c
∫ sin(x) dx = −cos(x) + c
∫ cos(x) dx = sin(x) + c
∫ tan(x) dx = −Log[cos(x)] + c
∫ cot(x) dx = Log[sin(x)] + c
∫ sec(x) dx = Log[tan(x) + sec(x)] + c
∫ csc(x) dx = −Log[cot(x) + csc(x)] + c
附錄 3. 三維空間中形狀的數值化
可以使用以下公式獲得歐幾里得三維空間中封閉形狀的數值化：
ν = V − S/2 + L/4 − χ/8,
其中 V 是體積，S 是表面積，L 是邊的長度，χ 是歐拉特徵。

邊長為 a 的閉合正方形：ν = a^2 − 2a + 1
閉合立方體：ν = a^3 − 3a^2 + 3a − 1
圓：ν = 0
閉合圓盤：ν = πr^2 − πr + 1
空心球體：ν = 0
實心球：ν = (4/3)πr^3 − 2πr^2 + (4/3)πr − 1
無限實心圓柱：ν = −∞
實心偽球體：ν = −π^2/2
沿平面 z = 0 粘合在一起的兩個加百利號角：ν = ∞
參考文獻

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https://doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00012-9
Andreas Blass, Mauro Di Nasso, Marco Forti, Quasi-selective ultrafilters and asymptotic
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Kenny Easwaran, Alan Hájek, Paolo Mancosu, Graham Oppy , Theories of Numerosities, 2023,
https://plato.stanford.edu/entries/infinity/numerosities.html
Alessandro Berarducci, Vincenzo Mantova, Surreal numbers, derivations and transseries, 2015,
https://arxiv.org/abs/1503.00315
James Propp, A new game with infinity, 2018, https://mathenchant.wordpress.com/2018/09/16/a-
new-game-with-infinity/
Ovidiu Costin, Philip Ehrlich, Integration on the Surreals, 2022,
https://doi.org/10.48550/arXiv.2208.14331

統計資料

從以下內容提煉的關鍵洞見

Applying numerosity to surreal integration

by Ilya Shnitma... 於 arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.00296.pdf

深入探究

如何將本文提出的超現實積分方法推廣到更廣泛的函數類別？

本文提出的超現實積分方法主要針對定義域和值域都包含超現實數的解析函數。要將其推廣到更廣泛的函數類別，可以考慮以下幾個方向：

放寬對解析性的要求: 目前的方法要求被積函數是解析的，這限制了其應用範圍。可以探索將其推廣到更一般的函數類別，例如分段解析函數、可微函數甚至僅僅是連續函數。這可能需要發展新的工具和技巧來處理非解析函數的超現實積分。
考慮更一般的超現實數集: 本文主要關注純無限和有限的超現實數。可以研究如何將積分定義推廣到包含更一般超現實數的函數，例如包含ε數、ω數的冪和對數的函數。這需要更深入地理解這些超現實數的性質以及它們在積分運算下的行為。
探索不同的積分定義方式: 本文采用了一種基於數值計算的積分定義方式。可以探索其他定義超現實積分的途徑，例如利用超現實數的序結構或拓撲結構。這些不同的定義方式可能會帶來新的性質和應用。

總之，將本文提出的超現實積分方法推廣到更廣泛的函數類別是一個富有挑戰性但也充滿潛力的研究方向。

本文提出的超現實積分方法是否真的能解決其他超現實積分定義中遇到的問題，或者它只是引入了新的問題？

本文提出的超現實積分方法並沒有完全解決其他超現實積分定義中遇到的問題，但也並非僅僅引入了新的問題。
優點：

計算簡便: 本文提出的方法提供了一個明確的計算公式，可以利用現有的數值計算工具進行計算，相較於其他定義方式更易於操作。
與經典積分理論的聯繫: 該方法借鑒了經典積分理論中的概念和技巧，例如狄拉克δ函數、牛頓-萊布尼茨公式等，使得其更易於理解和接受。
缺點：

不滿足線性性質: 該方法不滿足關於無限因子的線性性質，這與經典積分理論相悖，也限制了其應用範圍。
對無窮小的處理: 該方法忽略了被積函數中無窮小的部分，這可能導致在某些情況下結果不夠精確。
總體而言，本文提出的超現實積分方法提供了一種新的思路和方法，在某些方面取得了進展，但也存在一些局限性。它並沒有完全解決其他超現實積分定義中遇到的問題，而是提供了一種新的權衡，在計算簡便性和理論完備性之間取得了一定的平衡。

超現實數學的發展對其他數學領域和科學領域有什麼潛在影響？

超現實數學作為一個相對年輕的數學分支，其發展對其他數學領域和科學領域有著潛在的影響：
數學領域:

分析學: 超現實數可以提供新的工具和视角来研究无穷大和无穷小的問題，例如非标准分析。
代数学: 超现实数可以用于构建新的代数结构，例如超现实数域、超现实向量空間等。
集合論: 超现实数的構造與集合論有著密切的聯繫，可以為集合論的研究提供新的思路和方法。
博弈論: 超现实数可以用于分析和解决一些复杂的博弈问题，例如组合博弈论。
科學領域:

物理學: 超现实数可以用于描述和研究一些物理现象，例如量子力學、宇宙學等。
計算機科學: 超现实数可以用于开发新的算法和数据结构，例如超现实数计算、超现实数几何等。
經濟學: 超现实数可以用于建立更精确的经济模型，例如无限期博弈、动态规划等。
總而言之，超现实数學的發展為其他數學領域和科學領域提供了新的工具、方法和思路，具有廣泛的應用前景。