廣義傅立葉繞射定理及其在斷層掃描成像中的濾波反投影重建應用

Q: 除了文中提到的實驗設置，還有哪些方法可以進一步擴大傅立葉覆蓋範圍，從而提高斷層掃描成像的重建質量？

除了改變入射方向、物體旋轉和波數之外，還可以通過以下方法進一步擴大傅立葉覆蓋範圍，提高斷層掃描成像的重建質量： 多角度入射和旋轉組合: 文中提到可以通過多軸旋轉或多方向照明來克服缺失錐問題。更進一步地，可以設計更複雜的多角度入射和旋轉組合方案，例如螺旋掃描、錐束掃描等，這些方法可以更有效地填補傅立葉空間中的空白區域，從而提高重建質量。 寬帶信號: 使用寬帶信號，例如脈衝信號或啁啾信號，可以同時獲得多個頻率的散射波信息。由於不同頻率的波對應於傅立葉空間中不同的圓弧或球面，因此使用寬帶信號可以有效地擴大傅立葉覆蓋範圍。 非線性模型: 文中提到的 Born 和 Rytov 近似都是線性模型，在某些情況下，例如強散射體或高 контраст 物體，這些線性模型可能不夠準確。這時可以考慮使用更精確的非線性模型，例如基於 Lippmann-Schwinger 方程的模型，這些模型可以提供更完整的散射信息，從而擴大傅立葉覆蓋範圍。 先驗信息: 在實際應用中，我們通常對成像物體有一定的先驗信息，例如物體的形狀、大小、位置等。可以利用這些先驗信息來約束重建過程，例如在濾波反投影算法中使用加權函數或約束算子，這樣可以有效地減少重建的偽影，提高重建質量。

Q: 該研究成果對於其他成像技術，例如 X 射線斷層掃描或磁共振成像，是否有借鑒意義？

該研究成果對於其他成像技術，例如 X 射線斷層掃描或磁共振成像，有一定的借鑒意義。 X 射線斷層掃描: X 射線斷層掃描也利用了傅立葉切片定理，通過旋轉 X 射線源和探測器，從不同角度獲取投影數據，然後利用反投影算法重建物體的斷層圖像。該研究中關於傅立葉覆蓋範圍和濾波反投影算法的分析方法，可以應用於優化 X 射線斷層掃描的數據採集方案和重建算法，例如設計更優的掃描軌跡、開發更精確的反投影算法等。 磁共振成像: 磁共振成像利用了核磁共振的原理，通過施加梯度磁場，對物體內部的自旋進行空間編碼，然後利用傅立葉變換重建物體的圖像。該研究中關於傅立葉覆蓋範圍和缺失錐問題的分析，可以幫助理解磁共振成像中的偽影產生機制，並為開發新的成像序列和重建算法提供思路。 總之，該研究成果對於其他成像技術有一定的借鑒意義，特別是在數據採集方案設計、重建算法開發和偽影抑制等方面。

Q: 如何利用機器學習技術來優化濾波反投影算法，例如自動選擇濾波器參數或補償缺失錐問題？

機器學習技術可以應用於優化濾波反投影算法，例如自動選擇濾波器參數或補償缺失錐問題，以下是一些思路： 自動選擇濾波器參數: 濾波器參數的選擇對重建質量有很大影響。傳統上，濾波器參數通常是根據經驗或簡單的規則來選擇的。可以利用機器學習技術，例如貝葉斯優化、強化學習等，自動搜索最優的濾波器參數。具體方法是將重建圖像的質量作為目標函數，利用機器學習算法在參數空間中搜索能够最大化目標函數的參數組合。 補償缺失錐問題: 針對缺失錐問題，可以利用機器學習技術，例如生成對抗網絡 (GAN) 或變分自編碼器 (VAE)，學習缺失傅立葉數據的先驗分佈，並利用學習到的先驗分佈來補全缺失數據。具體方法是將已知的傅立葉數據輸入到生成模型中，訓練模型生成與真實數據分佈相似的數據，然後利用訓練好的模型來生成缺失的傅立葉數據。 端到端學習: 可以利用深度學習技術，例如卷積神經網絡 (CNN)，構建端到端的斷層掃描成像模型，直接從原始數據學習到重建圖像的映射關係。這種方法可以避免傳統方法中繁瑣的步驟，例如濾波、反投影等，並且可以自動學習數據中的複雜特徵，從而提高重建質量。 總之，機器學習技術為優化濾波反投影算法提供了新的思路和方法，可以有效地提高斷層掃描成像的重建質量。

核心概念

本文推導出廣義傅立葉繞射定理，建立了散射波測量值與散射勢重建之間在傅立葉域中的精確關係，並提出基於該定理的濾波反投影公式，適用於廣泛的斷層掃描成像實驗設置。

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本文探討了以散射勢為特徵的物體的繞射斷層掃描重建。我們建立了任意維度傅立葉繞射定理的嚴格推廣，給出了散射波測量值與散射勢重建之間在傅立葉域中的精確關係。利用該定理，我們研究了不同實驗設置的傅立葉覆蓋範圍，考慮了物體方向、入射方向和照明頻率等參數。允許這些參數同時和不連續地變化，我們推導出一個通用的濾波反投影公式，從而得到一大類實驗設置下散射勢的顯式近似。

亥姆霍茲方程
我們考慮 Rd 中亥姆霍茲方程的反源問題：
(∆ + k²₀)u = g,
其中 k₀ 為正常數，g 為具有緊支撐的可積函數。給定唯一外向解 u 的測量值，目標是重建 g。
傅立葉繞射定理
我們的首個結果將 g 的傅立葉變換與限制在超平面上的 u 的傅立葉變換聯繫起來，可以看作是著名的傅立葉繞射定理的推廣。設 ˜F : S(ℝᵈ) → S(ℝᵈ) 為沿前 pd-1 個坐標的偏傅立葉變換。則 ˜Fu 是一個局部可積函數，由以下公式給出：
˜Fu(x, rM) = (cπ/2i/κ)(e^(iκrM)F(1 - 1_{E_{rd}})g(h⁺(x)) + e^(-iκrM)F(1_{E_{rd}}g)(h⁻(x))),
其中 x ∈ ℝ^(d-1), rM ∈ ℝ, κ = κ(x) 是 k²₀ - |x|² 的主平方根，F 是 ℝᵈ 上的傅立葉變換，解析延拓到 |x|² > k²₀ 時的 ℂᵈ。函數 g⁺ 和 g⁻ 定義為：
g⁺(r) = g(r) if rd ≥ rM and g⁺(r) = 0 otherwise.
假設在超平面 {r ∈ ℝᵈ : rd = rM} 上測量 u，則 (1.2) 將數據的空間頻率分量與 g⁺ 和 g⁻ 的空間頻率分量聯繫起來。
繞射斷層掃描
亥姆霍茲方程 (1.1) 是時諧波 U(r, t) = Re(u_tot(r)e^(-iωt)) 從有界不均勻性散射的模型。假設波的運動是由入射場 u_inc 引起的，該入射場在遇到散射體之前在均勻背景中傳播，則所得散射場 u_sca = u_tot - u_inc 的常用模型為：
(∆ + k²₀)u_sca = k²₀f u_tot.
此外，u_sca 滿足索末菲輻射條件。在這種情況下，k₀ > 0 是入射場 u_inc 的波數，假設其滿足 ∆u_inc + k²₀u_inc = 0，歸一化散射勢 f 由下式給出：
f(r) = (n(r)²/n²₀) - 1, r ∈ ℝᵈ,
其中 n 是折射率。在有界不均勻性之外，我們有 n(r) = n₀，因此 f 是緊支撐的。通常，f 具有非零虛部以允許吸收。
玻恩近似和 Rytov 近似
該散射模型的兩個常見簡化是玻恩近似和 Rytov 近似，每個都導致形式為 (1.1) 的方程。一階玻恩近似忽略了 (1.3) 右側的項 k²₀f u_sca，其形式為：
(∆ + k²₀)u_sca = k²₀f u_inc.
一階 Rytov 近似基於 u_tot = u_inc e^φ 的 Ansatz，其中 φ 為複雜的相位函數，並導致：
(∆ + k²₀)(u_inc φ) = k²₀f u_inc.
傅立葉繞射斷層掃描
在這個框架內，繞射斷層掃描的反問題可以表述如下：給定入射場 u_inc 的知識以及在 ℝᵈ 中超平面上的散射波測量值，基於 (1.5) 或 (1.6) 恢復散射勢 f。
濾波反投影
濾波反投影是繞射斷層掃描中的一種重建算法，它提供了一個顯式重建公式。其思想是首先應用坐標變換，然後使用傅立葉繞射定理 (1.7) 用測量值 u 的空間頻率分量替換 f 的空間頻率分量。這種方法的一個問題是坐標變換通常遠非單射。因此，為了將濾波反投影公式正確地擴展到本文提出的通用設置，必須通過 Banach 特徵函數來考慮缺乏單射性的問題。雖然 Banach 特徵函數通常難以確定，但我們建議使用數值程序來估計它。
缺失錐問題
另一個問題，不僅是濾波反投影，而且通常是繞射斷層掃描方法，是缺失錐問題。這是觀察到對於許多實驗設置，傅立葉覆蓋範圍在靠近原點的地方有明顯的錐形孔。因此，f 的大部分低空間頻率無法用於重建，從而導致結果不佳。缺失錐問題可以通過例如在多個軸上連續旋轉物體或在旋轉過程中從多個方向依次照射來克服。為了將得到的測量值正確地合併到單個反投影公式中，我們允許函數 R(t), s(t) 和 k₀(t)，以及 T，具有跳躍不連續性。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Generalized Fourier Diffraction Theorem and Filtered Backpropagation for Tomographic Reconstruction

by Clemens Kiri... 於 arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2407.01793.pdf

$Generalized Fourier Diffraction Theorem and Filtered Backpropagation for Tomographic Reconstruction$

深入探究

除了文中提到的實驗設置，還有哪些方法可以進一步擴大傅立葉覆蓋範圍，從而提高斷層掃描成像的重建質量？

除了改變入射方向、物體旋轉和波數之外，還可以通過以下方法進一步擴大傅立葉覆蓋範圍，提高斷層掃描成像的重建質量：

多角度入射和旋轉組合: 文中提到可以通過多軸旋轉或多方向照明來克服缺失錐問題。更進一步地，可以設計更複雜的多角度入射和旋轉組合方案，例如螺旋掃描、錐束掃描等，這些方法可以更有效地填補傅立葉空間中的空白區域，從而提高重建質量。
寬帶信號: 使用寬帶信號，例如脈衝信號或啁啾信號，可以同時獲得多個頻率的散射波信息。由於不同頻率的波對應於傅立葉空間中不同的圓弧或球面，因此使用寬帶信號可以有效地擴大傅立葉覆蓋範圍。
非線性模型: 文中提到的 Born 和 Rytov 近似都是線性模型，在某些情況下，例如強散射體或高 контраст 物體，這些線性模型可能不夠準確。這時可以考慮使用更精確的非線性模型，例如基於 Lippmann-Schwinger 方程的模型，這些模型可以提供更完整的散射信息，從而擴大傅立葉覆蓋範圍。
先驗信息: 在實際應用中，我們通常對成像物體有一定的先驗信息，例如物體的形狀、大小、位置等。可以利用這些先驗信息來約束重建過程，例如在濾波反投影算法中使用加權函數或約束算子，這樣可以有效地減少重建的偽影，提高重建質量。

該研究成果對於其他成像技術，例如 X 射線斷層掃描或磁共振成像，是否有借鑒意義？

該研究成果對於其他成像技術，例如 X 射線斷層掃描或磁共振成像，有一定的借鑒意義。

X 射線斷層掃描: X 射線斷層掃描也利用了傅立葉切片定理，通過旋轉 X 射線源和探測器，從不同角度獲取投影數據，然後利用反投影算法重建物體的斷層圖像。該研究中關於傅立葉覆蓋範圍和濾波反投影算法的分析方法，可以應用於優化 X 射線斷層掃描的數據採集方案和重建算法，例如設計更優的掃描軌跡、開發更精確的反投影算法等。
磁共振成像: 磁共振成像利用了核磁共振的原理，通過施加梯度磁場，對物體內部的自旋進行空間編碼，然後利用傅立葉變換重建物體的圖像。該研究中關於傅立葉覆蓋範圍和缺失錐問題的分析，可以幫助理解磁共振成像中的偽影產生機制，並為開發新的成像序列和重建算法提供思路。
總之，該研究成果對於其他成像技術有一定的借鑒意義，特別是在數據採集方案設計、重建算法開發和偽影抑制等方面。

如何利用機器學習技術來優化濾波反投影算法，例如自動選擇濾波器參數或補償缺失錐問題？

機器學習技術可以應用於優化濾波反投影算法，例如自動選擇濾波器參數或補償缺失錐問題，以下是一些思路：

自動選擇濾波器參數: 濾波器參數的選擇對重建質量有很大影響。傳統上，濾波器參數通常是根據經驗或簡單的規則來選擇的。可以利用機器學習技術，例如貝葉斯優化、強化學習等，自動搜索最優的濾波器參數。具體方法是將重建圖像的質量作為目標函數，利用機器學習算法在參數空間中搜索能够最大化目標函數的參數組合。
補償缺失錐問題: 針對缺失錐問題，可以利用機器學習技術，例如生成對抗網絡 (GAN) 或變分自編碼器 (VAE)，學習缺失傅立葉數據的先驗分佈，並利用學習到的先驗分佈來補全缺失數據。具體方法是將已知的傅立葉數據輸入到生成模型中，訓練模型生成與真實數據分佈相似的數據，然後利用訓練好的模型來生成缺失的傅立葉數據。
端到端學習: 可以利用深度學習技術，例如卷積神經網絡 (CNN)，構建端到端的斷層掃描成像模型，直接從原始數據學習到重建圖像的映射關係。這種方法可以避免傳統方法中繁瑣的步驟，例如濾波、反投影等，並且可以自動學習數據中的複雜特徵，從而提高重建質量。
總之，機器學習技術為優化濾波反投影算法提供了新的思路和方法，可以有效地提高斷層掃描成像的重建質量。