這篇研究論文探討了代數幾何中一個基本猜想——莫里森錐體猜想(MCC)——在形變下的行為。MCC 關注的是光滑卡拉比-丘 threefold 的 Nef 錐體和可動錐體的幾何形狀。雖然這些錐體不是有理多面體,但該猜想預測,自同構群(分別為偽自同構群)的作用應該允許一個有理多面體基本域。
本文的主要結果是證明了如果可動(分別為 Nef)錐體猜想對一個光滑卡拉比-丘 threefold Y 成立,那麼它對任何與 Y 形變等價的光滑卡拉比-丘 threefold 也成立。這意味著,如果一個卡拉比-丘 threefold 存在一個光滑退化,並且該退化的可動錐體和 Nef 錐體都是有理多面體(因此 MCC 對其顯然成立),那麼根據本文的結果,原始的卡拉比-丘 threefold 也滿足 MCC。
為了證明主要結果,作者引入了「大威爾遜外爾群」的概念,並利用最小模型程序和 Bourbaki 和 Looijenga 的經典結果,建立了 Y 的可動錐體和偽自同構群與其一般形變 Ygen 之間的關係。作者還利用 Hodge 理論證明了 W big
Y ⋊PsAut(Y ) 必須通過有限群作用於 Def(Y ),這個結果可能具有獨立的意義。
這篇論文為證明更廣泛的卡拉比-丘 threefold 的 MCC 提供了一條途徑。通過證明 MCC 在形變下不變,作者將問題簡化為尋找一個滿足 MCC 的光滑退化。此外,作者對威爾遜外爾群的研究和 Hodge 理論的應用也為理解卡拉比-丘 threefold 的幾何形狀提供了新的工具和見解。
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