接觸結構族的單極不變量及其應用

核心概念

本文利用單極 Floer 同調論，為三維流形上的接觸結構族構造了一個不變量，並展示了其在研究接觸結構空間拓樸結構方面的應用，例如證明某些纖維化不存在截面以及檢測奇異接觸結構環的存在。

摘要

文章摘要

本文探討三維流形上接觸結構的拓樸學，主要工具是將 Kronheimer–Mrowka–Ozsváth–Szabó 接觸不變量推廣到接觸結構族的不變量。文章首先回顧了單極 Floer 同調論和接觸不變量的基本概念，接著介紹了接觸結構族的單極不變量，並闡述了其與單極 Floer 同調論中模結構之間的關係。

文章的核心內容是證明了接觸結構族的單極不變量是一個分層 ApR-模映射，並滿足自然性。作者通過將接觸結構空間視為以 S2 為纖維的纖維叢，並利用 Wang 正合序列和 Gysin 正合序列，建立了接觸結構空間的拓樸性質與單極 Floer 同調群之間的聯繫。

最後，文章將上述理論應用於一些具體的接觸流形例子，例如非理性奇點的鏈環，並得到了一些有趣的應用。具體來說，作者證明了當接觸不變量不位於 U 映射的像集中時，以接觸結構空間為總空間，以 S2 為底空間的自然纖維叢不存在截面。基於此，作者進一步證明了在具有凸球邊界的接觸三維流形上，存在著奇異的接觸結構環。

主要貢獻

1. 構造了接觸結構族的單極不變量： 將 Kronheimer–Mrowka–Ozsváth–Szabó 接觸不變量推廣到接觸結構族，為研究接觸結構空間的拓樸性質提供了新的工具。
2. 揭示了不變量與模結構的關係： 證明了接觸結構族的單極不變量是一個分層 ApR-模映射，並滿足自然性，深化了對不變量代數結構的理解。
3. 應用於具體例子並得到新結果： 將理論應用於非理性奇點的鏈環等具體例子，證明了某些纖維叢不存在截面，並檢測到奇異接觸結構環的存在，展示了不變量在解決具體問題方面的能力。

未來方向

1. 研究接觸結構族的單極不變量在更一般的三維流形上的性質和應用。
2. 探討不變量與其他接觸拓樸不變量之間的關係。
3. 將不變量應用於解決更多接觸拓樸學中的開放性問題。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

A monopole invariant for families of contact structures

by Juan... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2104.14638.pdf