比較以單pion交換位能和雙pion交換位能為中心的兩種核子有效場論展開

核心概念

本文比較了兩種不同的核力有效場論展開方式，發現以雙pion交換位能為中心的展開方式在某些情況下，特別是在描述核子散射的1S0通道時，展現出比傳統以單pion交換位能為中心的展開方式更好的收斂性。

摘要

導論

• 推導核力是核物理學中最重要且尚未解決的問題之一。
• 現今，我們期望任何嚴謹的推導都應基於量子色動力學（QCD），它是強交互作用的基本理論。
• 有兩種策略：
  • 直接利用晶格QCD進行推導，其中QCD透過蠻力計算來解決。
  • 間接推導，其中建立一個有效場論（EFT），納入QCD的低能對稱性（最顯著的是手徵對稱性）和自由度（pion、核子，可能還有Δ粒子）。
• 在EFT的框架內，我們將核力組織成一個低能展開式，以尺度比Q/M表示，其中Q是一個軟尺度，通常可以與pion質量（mπ ∼140 MeV）或原子核內核子的典型動量等同，而M是一個硬尺度，可能對應於核子質量MN或手徵對稱性破缺尺度Λχ = 4πfπ ∼1 GeV。
• 然而，目前對於如何組織核力的EFT展開式尚未達成共識，這可以從眾多功率計數方案的存在、一些計數中理論上的不一致，以及為了解決這些問題而對核子EFT進行的大膽和原創（但有時也受到質疑）的重新詮釋中看出。
• 這種困境可以用一個較差的展開參數（Q/M）來解釋：如果展開參數不夠小，則展開式中各項的相對重要性可能與簡單估計所暗示的非常不同。即使展開式中的係數為1的量級，也可能發生這種情況。

以單pion交換位能和雙pion交換位能為中心的兩種核子有效場論展開

• 本文探討了圍繞單pion交換位能（OPE）和雙pion交換位能（TPE）展開的情況下產生的功率計數的可能形式。
• 為方便起見，我們將它們分別稱為EFT(OPE)和EFT(TPE)。
• 實際上，EFT(OPE)已經在文獻中被廣泛討論，我們將在一定程度上依賴於現有的分析。
• 這裡感興趣的展開是EFT(TPE)，它需要對功率計數進行與EFT(OPE)截然不同的修改。
• 為簡單起見，我們將考慮一個通用的EFT展開式，它在領導階（LO）需要對有效位能的一部分進行非微擾迭代，這反過來會產生一個LO波函數ΨLO，我們假設其形式是已知的。
• 採用這種方法的原因是，接觸範圍位能的功率計數實際上是由ΨLO的冪律特性決定的。
• 然後，通過將ΨLO具體化為EFT(OPE)和EFT(TPE)展開式，我們將推導出它們的功率計數。
• 對於EFT(TPE)，我們對單態和三重態都有α = 3/2。
• 這尤其意味著C2耦合，即範圍修正，都被降級到Q3或N4LO。
• 範圍修正的這種降級可能是由圍繞奇異交互作用展開產生的功率計數最顯著的特徵。
• 在表I中，我們簡要總結了EFT(OPE)和EFT(TPE)的功率計數，這些計數將在本工作中實施和探討。
• 它包括一些簡化假設，例如，具有張量OPE的C2的分數計數（即α = 3/4的Q3/2）已近似為Q2，並且一些數值較小的耦合（固定E1和3D1散射長度的耦合）已從Q−1/2降級為Q2。
• EFT(TPE)中最主要的簡化是，我們只是將ν ≤3 EFT位能提升到LO（而不是僅提升次領導階TPE，考慮到ΛTPE(SL)，檢查等式（9-12），這更有意義）。
• 這可以通過觀察到OPE和領導階TPE的貢獻在數值上很小來證明是合理的。
• 然而，將它們提升是安全的真正原因是，這種選擇不會改變EFT(TPE)的重整化群（RG）演化：OPE和TPE(L)的冪律行為無法改變TPE(SL)被非微擾處理的理論的RGE。
• 此外，當夾在EFT(TPE)的LO波函數之間時，微擾OPE是有限的，而TPE(L)通過簡單地重新校準散射長度（即通過對C0的次領導階修正）來重整化。

兩種展開式的比較

• 在確定了兩種功率計數之後，剩下的就是分別在EFT(OPE)和EFT(TPE)展開式中進行必要的計算。
• 技術細節雖然簡單但很繁瑣，可以在附錄A中查閱，這裡我們僅說明計算的主要特徵：
  • LO波函數和散射振幅的獲得和重整化方法與參考文獻[35, 36, 39]中相同，其中通過使用合適的邊界條件，顯示了不同分波所需的最小耦合數。
  • 對於次領導階相移，我們基本上遵循參考文獻[24, 25]中使用的正則化方法，該方法也表明，在包含一系列耦合後，微擾修正確實是可重整化的。
• 圖2顯示了1S0、3P0和3S1-3D1分波的結果，它使用截止範圍Rc = (0.5 −1.0) fm來生成帶狀區域。
• 這些帶狀區域的主要目的是說明兩種展開式中截止依賴性的程度，而次要目的是對EFT不確定性進行初步（但成本低廉）的估計（通常，對於一個經過適當重整化的理論，我們預計截止變化會低估這些不確定性，特別是在L ≥1波中；更複雜的估計EFT不確定性的方法可以在參考文獻[31, 32, 45–50]中找到）。
• 這兩種展開式對於大多數分波都表現良好，儘管EFT(TPE)的效果略好（特別是在較高的動量下）。
• 然而，EFT(TPE)的優勢似乎主要集中在1S0分波上，因為它在N4LO只需要兩個耦合（而不是四個），並且與Nijmegen II偽數據的擬合也略好。
• 對於3S1-3D1，我們在EFT(OPE)中選擇了一個參數比嚴格需要的參數多的計數選擇，只是為了簡化計算。
• 因此，這裡進行的比較沒有考慮到EFT(OPE)可以改進為在氘核通道中需要更少的耦合。
• 原則上，可以從次領導階修正的標度特性中更詳細地了解兩種展開式的收斂特性，我們在附錄B中對此進行了分析。
• 這表明EFT(TPE)可能比ETF(OPE)收斂得更快，不僅在1S0中，而且在3S1和3P0分波中也是如此。
• 然而，結論並不確定，充其量只是試探性的：一方面，要找到可以確切證明其大小為O(1)的無量綱量並非易事。
• 另一方面，我們所做的簡化計數選擇——前面提到的3S1-3D1情況下的接觸範圍耦合數，或者我們在EFT(TPE)中將所有位能提升到LO的事實——掩蓋了展開式之間的比較。
• 還應當指出，我們並沒有試圖對EFT(OPE)和EFT(TPE)展開式的收斂性進行最先進的分析。
• 我們只是指出，這可以通過例如將參考文獻[45–50]的貝葉斯分析應用於我們這裡用於計算相移的扭曲波微擾方法來實現。
• 雖然貝葉斯分析通常處理在Weinberg方案中計算的非微擾散射可觀測量（它們通常探索該方案有效的有限截止範圍），但沒有什麼能阻止它們應用於我們這裡提出的兩種展開式中的相移。
• 事實上，參考文獻[51]代表了朝這個方向邁出的一步，儘管僅限於EFT(OPE)的LO。
• 展開振幅（而不是非微擾地計算它們）的一個潛在的有趣優勢是在附錄B中先前確定的次領導階修正的標度特性。
• 在這方面，我們在附錄B 4中簡要討論了這些發現對於EFT(OPE)和EFT(TPE)的預期貝葉斯分析的可能應用。

討論

• 在這裡，我們考慮了核力的兩種可能的EFT展開式：一種典型的EFT展開式，其中LO由OPE位能的迭代定義，以及一種非典型的EFT展開式，其中TPE也被迭代。
• 在這兩種情況下，都包含了接觸範圍算符，以保證在每個階上都有RG不變性，儘管為了減輕計算負擔，採取了一些自由度（特別是在3S1-3D1通道中）。
• 這兩種展開式（我們將其命名為EFT(OPE)和EFT(TPE)）收斂得都相對較好，儘管非典型的EFT(TPE)在1S0分波中表現得更好。
• 這就引出了一個問題：為什麼會這樣？
• EFT(TPE)在某種意義上是功率計數應該是什麼的模仿，其中應該在Q3處輸入的貢獻被提升到Q−1。
• 在沒有充分的物理理由的情況下，不應將EFT(TPE)視為合法的EFT展開式。
• EFT(TPE)可能有意義的最明顯理由在於核物理學中EFT展開式的收斂速度慢，即尺度分離較差，這使得高階貢獻可能意外地表現為低階貢獻（有關更多詳細信息，請查看等式（1）附近的討論）。
• 粗略地看一下手性極限中的S波位能，等式（8-12），表明TPE的某些部分確實出乎意料地大。
• 事實上，在手性極限中，張量OPE、TPE(L)和TPE(SL)的行為就像純粹的1/r3、1/r5和1/r6冪律無限範圍位能（而自旋-自旋OPE消失）。
• Birse [23]巧妙地利用了這一點，通過應用原子物理學中先前已知的結果（特別是Gao [53]計算的1/r3位能的長期微擾展開式的失敗[52]），確定了張量OPE可以被微擾處理的動量下限。
• 這表明張量OPE僅在3S1-3D1 (3P0)分波中對於k < 66 MeV (k < 182 MeV)是微擾的，至少在手性極限中是這樣，這解釋了先前的觀察結果，即Kaplan、Savage和Wise (KSW)計數[8, 9]（將所有pion交換視為微擾）在雙核子系統中收斂緩慢，並且僅在低動量下收斂[15]（有關微擾OPE極限的進一步證實，另請參見參考文獻[54]）。
• 事實上，Gao還在參考文獻[55]中分析了有吸引力的1/r6交互作用的長期微擾展開式，通過重複Birse的論證，我們可以得到一個臨界動量kcrit≃(150−200) MeV，在手性極限中，對於單態，超過這個動量，次領導階TPE的微擾處理將不會收斂。
• 考慮到在手性極限中，OPE在單態中消失，因此可以合理地假設，當mπ→0時，次領導階TPE需要非微擾處理。
• 在現實世界中，由於有限的pion質量效應和OPE LO畸變，預計會出現顯著偏差。
• 事實上，EFT(OPE)展開式在高達N4LO的情況下都顯示出良好的收斂性，沒有明顯跡象表明在k > kcrit時會失敗。
• 然而，對於三重態中的KSW展開式在NLO也是如此，後來證明，一旦OPE在N2LO處首次迭代，KSW展開式就會失敗[15]。
• 因此，一旦TPE(SL)的第一次迭代在Q7/N8LO處進入，EFT(OPE)展開式很可能也會面臨同樣的命運。
• 對於三重態波，情況有所不同，因為TPE現在被張量OPE扭曲了。
• 由此，它的強度完全有可能被更長程的OPE畸變所屏蔽，這就是為什麼與單態相比，EFT(OPE)在三重態中效果更好的原因。
• 實際上，我們展示的結果表明，兩種展開式在三重態中沒有顯著差異。
• 還應當強調的是，對於EFT(TPE)，我們簡化了將整個位能（包括OPE）提升到LO。
• 可能會出現這樣的情況，即將OPE保留為NLO貢獻（正如其NDA標度所暗示的那樣）可能不會導致收斂的展開式。
• 如果出現這種情況，結論將是EFT(TPE)不是三重態的合適展開式。
• 從正統的EFT角度來看，這將是一個好消息，因為這將加強標準計數，例如，在標準計數中，OPE驅動氘核的低能物理。
• 但是，要真正證實這一假設，我們需要在扭曲波微擾理論中將張量OPE迭代到相對較高的階，這並不容易做到（特別是如果我們想保證計算中每一步的可重整化性）。
• 儘管如此，這在未來還是值得探索的。
• 總之，EFT(TPE)的特點很有趣：它是一種非常違反正統直覺的組織核子EFT的方法，但它提供了一種比標準的EFT展開式組織方法收斂得更好的展開式。
• 有人可能會爭辯說，EFT(TPE)是Weinberg方案的替代品，但它在概念上是不同的：儘管在這兩種情況下，我們都在迭代有效有限範圍位能的一大部分，但對於接觸範圍算符來說並非如此，其中大部分都被視為微擾。
• 這一細節使得EFT(TPE)可重整化——接觸的計數來自RGE，並且振幅在Rc→0極限下有一個定義良好的極限——而Weinberg方案在硬截止極限下並不總是表現良好（例如，1S0通道在使用TPE和兩個接觸C0和C2時是不可重整化的[56]，除非調用接觸範圍交互作用的非常特殊的表示[34]）。
• 無論如何，EFT(TPE)展開式提出的問題多於答案，需要進一步的理論努力才能在核子EFT中找到它的位置。

統計資料

α0(1S0) = −23.7 fm
α0(3P0) = −2.65 fm3
α0(3S1) = 5.42 fm
α0(E1) = 1.67 fm3
α0(3D1) = 6.60 fm5
gA = 1.26
fπ = 92.4 MeV
mπ = 138.03 MeV
d18 = −0.97 GeV2
c1 = −0.81 GeV1
c3 = −3.4 GeV−1
c4 = +3.4 GeV−1

引述

"In the effective field theory formalism nuclear forces are organized as a low energy expansion."
"Usually the lowest order in this expansion corresponds to the non-perturbative iteration of the one-pion exchange potential and a few contact-range operators as to ensure renormalization group invariance."
"Here we consider an alternative expansion in which two-pion exchange becomes the lowest order finite range interaction and as such is expected to be iterated."
"A comparison of this new expansion with the standard one shows a better convergence pattern for a few selected partial waves (1S0, 3P0 and 3S1-3D1) in two-nucleon scattering, in particular for the 1S0 channel (though both expansions converge well)."

從以下內容提煉的關鍵洞見

A comparison of two possible nuclear effective field theory expansions around the one- and two-pion exchange potentials

by Manuel Pavon... 於 arxiv.org 10-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2112.02076.pdf

深入探究

除了單 pion 和雙 pion 交換位能，還有哪些其他的核力模型可以被用來構建核子有效場論？

除了單 pion (OPE) 和雙 pion 交換位能 (TPE) 外，還有其他核力模型可以用來構建核子有效場論 (EFT)。這些模型可以分為兩大類：
基於現象學的模型：

阿貢位能 (Argonne V18): 這是一個高精度的現象學核力模型，包含了 18 種不同的算符結構，用以描述核子之間的相互作用。
CD-Bonn 位能: 這是一個基於單玻色子交換模型的核力模型，考慮了π、ρ、ω、σ、η、a0、f0等介子的交換。
Nijmegen 位能: 這是一系列基於現象學的核力模型，包含了不同版本的位能，例如 Nijmegen I, II, 93, Reid93 等。
基於手徵對稱性的模型：

手徵微擾論 (Chiral Perturbation Theory, ChPT): 這是一種基於量子色動力學 (QCD) 低能有效理論，可以系統地計算核力中的多 pion 交換貢獻。
手徵有效場論 (Chiral Effective Field Theory, χEFT): 這是一種將 ChPT 的結果應用於核力的理論框架，可以系統地計算核力中的各種貢獻，並估計理論誤差。
除了上述模型外，還有一些其他的核力模型，例如 Skyrme 模型、夸克模型等。在構建核子有效場論時，可以根據具體的研究對象和精度要求選擇合適的核力模型。

如果將 EFT(TPE) 應用於更複雜的核系統，例如三核子系統或更重的原子核，其收斂性和預測能力是否仍然優於 EFT(OPE)？

目前還不清楚將 EFT(TPE) 應用於更複雜的核系統，例如三核子系統或更重的原子核時，其收斂性和預測能力是否仍然優於 EFT(OPE)。
挑戰：

計算複雜度： 將 EFT(TPE) 應用於多體系統會大大增加計算的複雜度，因為需要處理更多的自由度和相互作用項。
三體力： 在三核子及以上系統中，三體力扮演著重要的角色。目前尚不清楚 EFT(TPE) 如何有效地處理三體力。
多重散射： 在多體系統中，核子之間會發生多重散射。EFT(TPE) 需要發展新的方法來處理多重散射效應。
潛在優勢：

更快的收斂速度： 如文中的研究結果所示，EFT(TPE) 在描述雙核子系統時展現出比 EFT(OPE) 更快的收斂速度。這可能意味著 EFT(TPE) 在處理多體系統時也具有潛在的優勢。
對短程力的敏感性： EFT(TPE) 將雙 pion 交換位能作為 leading order 效應，這可能使其對核子間短程力的描述更加敏感。
總之，將 EFT(TPE) 應用於更複雜的核系統是一個值得探索的方向，但需要克服許多理論和計算上的挑戰。目前還需要更多的研究來評估 EFT(TPE) 在多體系統中的有效性和優勢。

在晶格 QCD 計算中，如何更準確地提取 pion 交換位能的貢獻，從而為核子有效場論提供更精確的輸入？

在晶格 QCD 計算中，更準確地提取 pion 交換位能的貢獻，需要解決以下幾個方面的問題：

有限體積效應： 晶格 QCD 計算是在有限的四維時空中進行的，這會導致有限體積效應，影響 pion 交換位能的提取。解決方法包括使用更大的晶格體積、採用有限體積修正等。
非物理的夸克質量： 由於計算成本的限制，晶格 QCD 計算通常使用比實際夸克質量更大的值。這會影響 pion 的性質，進而影響 pion 交換位能。解決方法包括使用更接近物理值的夸克質量、進行夸克質量外推等。
激發態污染： 在提取核子間的相互作用時，需要考慮激發態的污染。解決方法包括使用更精確的算符、採用變分方法等。
以下是一些具體的策略：

計算核子-核子散射相移： 通過在晶格上計算核子-核子散射相移，可以提取出不同角動量通道下的相互作用信息。通過分析相移在低能區域的行為，可以提取出 pion 交換位能的貢獻。
計算核子-核子位能： 可以通過計算核子-核子四點函數，並採用特定的方法（例如 HALQCD 方法）來提取核子-核子位能。通過分析位能在長程區域的行為，可以提取出 pion 交換位能的貢獻。
計算核子-pion 耦合常數： 核子-pion 耦合常數是決定 pion 交換位能強度的重要參數。可以通過在晶格上計算核子-pion 三點函數來提取該耦合常數。
通過不斷改進晶格 QCD 計算方法，並採用上述策略，可以更準確地提取 pion 交換位能的貢獻，為核子有效場論提供更精確的輸入，從而提高核子有效場論的預測精度。