核心概念
本文探討了海森堡群中垂直曲線的特性,特別是它們與內在 Lipschitz 圖的關係,以及它們的豪斯多夫維數。
摘要
海森堡群中垂直曲線與垂直纖維
簡介
本文研究了三維海森堡群 H 中的垂直曲線和從 H 到 R2 的映射纖維的度量性質。我們將 H 中滿足關於軸 〈Z〉(H 的中心)的齊次錐的錐條件的集合稱為垂直曲線。這類似於用於定義內在 Lipschitz 圖的錐條件。
垂直曲線的幾何與拓撲
- 連通的垂直曲線局部上與區間雙 Hölder 等價。
- 垂直曲線類與滿足橫截條件的內在 Lipschitz 圖的交集類一致。
- 與內在 Lipschitz 圖不同,垂直曲線的豪斯多夫維數可以變化;我們構造了豪斯多夫維數嚴格大於或嚴格小於 2 的垂直曲線。
- 因此,存在豪斯多夫維數嚴格大於或嚴格小於 2 的內在 Lipschitz 圖的交集。
垂直纖維與映射
- 與歐幾里得空間中的情況相反,存在從 H 到 R2 的映射,使得映射任意接近從 H 到水平面的投影 π,但 B 中映射纖維的平均 H2 測度任意小。
主要結果
- 定理 1.3:對於兩個不同的垂直平面 W1 和 W2,如果 λ > 0 足夠大,則存在 L, L' ∈ (0,1),使得:
- 如果 Γ1 和 Γ2 分別是 W1 和 W2 上的整個 L-iLip 圖,則 Γ1 ∩ Γ2 是一條 λ-垂直曲線,它是非空、閉合、連通且沒有端點的。
- 如果 E 是一條 λ-垂直曲線,則存在 Γ1 和 Γ2 分別是 W1 和 W2 上的整個 L'-iLip 圖,並且 Γ1 ∩ Γ2 是一條包含 E 的垂直曲線。如果 E 是非空、閉合、連通且沒有端點的,則 Γ1 ∩ Γ2 = E。
- 定理 1.4:對於任何 λ > 0,存在連通的 λ-垂直曲線 E, E' ⊂ H,使得 dimH(E) < 2 < dimH(E')。
- 定理 1.6:對於任何 ε > 0,存在一個接觸微分同胚 β: B → B,具有以下性質:
- β 在 ∂B 上是恆等映射。
- 對於所有 p ∈ H,d(p, β(p)) < ε。
- R2 中 (π ◦ β)^-1(v) 的 H2 測度小於 ε。
方法
- 定理 1.4 中集合 E, E' 的構造基於以下觀察:任何切向量從不水平的平滑曲線 F ⊂ H 在小尺度上都是 Reifenberg 平坦的。
- 定理 1.6 的證明的主要思想是:給定一個接觸映射 β: H → H 和一個點 p ∈ H,其中 β 的水平雅可比行列式不為零,我們可以擾動 β 在一個小球 Br0(p) 上,使得水平雅可比行列式在 Br0(p) 上的積分減少一個固定因子 α < 1。
結論
本文研究了海森堡群中垂直曲線的特性,證明了它們與內在 Lipschitz 圖的關係,並構造了具有非整數豪斯多夫維數的垂直曲線。此外,我們還研究了從 H 到 R2 的映射,並證明了存在接觸微分同胚,使得纖維的平均 H2 測度任意小。
統計資料
λ > 1/4
dimH(E) < 2 < dimH(E')
d(p, β(p)) < ε