疊加交互作用的具記憶隨機過程及其在生物數據中的應用

核心概念

本文提出兩種基於疊加交互作用跳躍過程的長記憶過程模型，並將其應用於分析魚類遷徙的生物計數數據，發現單一模型不足以描述魚類遷徙，需要結合不同時間尺度的模型進行分析。

摘要

疊加交互作用的具記憶隨機過程及其在生物數據中的應用

研究背景

隨機過程模型廣泛應用於描述隨機波動現象。馬可夫過程，例如由白噪聲過程驅動的隨機微分方程 (SDE) 的解，具有隨時間快速衰減的指數記憶。然而，許多現實世界現象涉及衰減更慢、僅以多項式方式衰減的長記憶過程。長記憶過程存在於航空運輸、地震引起的地化學變化、金融市場的波動性、全球暖化導致的氣溫趨勢、流行病動力學和超統計學等領域。

生成長記憶過程的方法主要有分數階方法和疊加方法兩種。分數階方法假設系統的半群（通常以時間上的分數階導數表示）具有多項式衰減，因此其長記憶性源於時間上的分數階微分。疊加方法則假設長記憶過程是由於相互獨立的馬可夫隨機過程（根據其回復速度）疊加（即積分）而產生的。回復速度被解釋為時間變化的時間尺度的倒數，因此疊加方法的長記憶性源於慢速到快速時間尺度過程的共存。

研究目的與貢獻

本研究旨在解決先前模型的局限性，主要目標有兩個：

1. 使用基於疊加方法的交互作用過程對長記憶過程進行建模。
2. 將所提出的模型應用於生物計數數據。

本研究的貢獻在於提出了兩種基於疊加交互作用跳躍過程的長記憶過程模型：平均場交互作用 (MF) 模型和聚合交互作用 (AG) 模型。

MF 模型假設要疊加的過程的跳躍率通過其統計平均值聯繫起來。在這種情況下，疊加是平均場 SDE 的無限維版本，但該模型在分析上更易於處理。特別是當平均場效應的影響可見時，可以獲得所得長記憶過程的自相關性和記憶。這種明確的性質有助於應用，因為可以通過將模型擬合到數據來識別模型。

相反，AG 模型假設要疊加的過程的跳躍率直接聯繫，而沒有假設平均場（或遍歷性）。在這種情況下，疊加是多元跳躍過程的無限維版本。缺乏平均場假設導致缺乏高階統計量的顯式公式，例如方差；然而，可以通過求解由偏積分微分方程給出的廣義 Riccati 方程來確定矩生成函數。廣義 Riccati 方程的適定性已通過其結構得到證明，包括係數的擬單調性。該方程及其相關方程可以進行數值離散化，以計算 AG 模型的統計量。

模型應用

本研究將所提出的模型應用於日本五條河流中遷徙魚類香魚的生物計數數據。香魚是一種分佈在東北亞日本海和東海沿岸的溯河洄游魚類。它具有一年的生命週期，並在春季表現出從海洋、水庫或湖泊（即大型水體）向上游遷徙到相連河流的行為。

本研究的應用考慮了日本五條河流，並揭示了可以確定 MF 模型的參數及其可實現性條件。將 MF 模型應用於生物計數數據是一項新穎的貢獻，並且將其與 AG 模型進行比較是本研究的另一項貢獻。應用的目的是從隨機建模的角度表徵魚類遷徙，而不是模擬。AG 模型還使用蒙特卡羅模擬和廣義 Riccati 方程計算應用於數據。因此，本研究有助於新型長記憶過程的建模和應用。

研究結果

研究結果表明，單一模型（例如指數記憶模型或長記憶模型）不足以分析魚類遷徙，而需要一種能夠涵蓋兩者的統一方法，而本研究提出的模型正是如此。

統計資料

所有時間序列數據的經驗變異係數 (CV) 均在 (0)10O 的數量級，所有案例的平均值為 1.82。
單位時間內的跳躍總數 Jmp 在 (1)10O− 的數量級，所有案例的平均值為 0.283，表明平均每三到四天發生一次跳躍事件。
所有時間序列數據都呈正偏態，數量級為 (0)10O，所有案例的平均值為 3.07。
CV 和偏度之間存在高度相關性，可以用 Skw=κCV 表示，其中 κ=1.6442 (R2=0.920)。

引述

"Stochastic processes with long memories, known as long memory processes, are ubiquitous in various science and engineering problems."
"Superposing Markovian stochastic processes generates a non-Markovian long memory process serving as powerful tools in several research fields, including physics, mathematical economics, and environmental engineering."
"The results of this study suggest that an exponential memory or a long memory model is insufficient; however, a unified method that can cover both is necessary to analyze fish migration, and our model is exactly the case."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Superposition of interacting stochastic processes with memory and its application to biological data

by Hidekazu Yos... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12272.pdf

深入探究

如何將所提出的模型擴展到非平穩時間序列，以更準確地描述魚類遷徙的季節性變化？

將模型擴展到非平穩時間序列，以更好地描述魚類遷徙的季節性變化，可以考慮以下幾個方向：

引入時間相依參數： 可以將模型中的參數（如跳躍率、跳躍規模、平均場強度等）設定為時間的函數，使其能夠隨著時間推移而變化，從而捕捉魚類遷徙的季節性模式。例如，可以使用週期函數（如正弦函數）來模擬魚類遷徙的季節性高峰和低谷。
採用時間變換技術： 可以對時間序列進行預處理，例如使用時間變換技術將其轉換為近似平穩的序列。常見的時間變換方法包括差分法、對數變換等。
結合狀態空間模型： 可以將所提出的模型嵌入到狀態空間模型的框架中，並允許狀態變量隨時間推移而演變。這樣可以更靈活地描述魚類遷徙的動態變化，並通過狀態空間模型的遞迴估計方法來估計模型參數。
考慮環境因素的影響： 魚類遷徙行為通常受到環境因素（如水溫、水流、食物供應等）的影響。可以將這些環境因素作為外部輸入變量引入模型中，以提高模型的預測精度。

需要注意的是，擴展模型到非平穩時間序列會增加模型的複雜性和參數估計的難度。需要根據具體問題和數據特點選擇合適的模型擴展方法。

如果魚類遷徙行為主要受環境因素驅動，而不是魚類之間的交互作用，那麼這些模型的適用性如何？

如果魚類遷徙行為主要受環境因素驅動，而不是魚類之間的交互作用，那麼文中提出的模型需要進行調整才能適用。

MF 模型（平均場交互作用模型） 假設魚類之間存在平均場形式的交互作用，即每條魚的行為都受到所有魚類平均狀態的影響。如果環境因素是主要驅動因素，那麼這種平均場交互作用的假設就不再成立。
AG 模型（聚合交互作用模型） 假設魚類之間存在直接的交互作用，但這種交互作用仍然是模型的核心組成部分。如果環境因素是主導因素，那麼 AG 模型也需要修改。
在環境因素驅動的情況下，可以考慮以下調整：

將環境因素作為模型的輸入： 可以將水溫、水流、食物供應等環境因素作為外部變量引入模型中，並修改跳躍率等參數，使其成為環境因素的函數。
弱化或移除交互作用項： 可以減小交互作用項的權重，甚至完全移除交互作用項，使模型主要關注環境因素對魚類遷徙的影響。
考慮其他類型的隨機過程： 如果環境因素的影響可以用其他類型的隨機過程更好地描述，例如 Ornstein-Uhlenbeck 過程或更一般的 Lévy 過程，則可以考慮使用這些過程來代替文中提出的模型。

總之，模型的適用性取決於魚類遷徙行為的主要驅動因素。如果環境因素是主導因素，則需要對模型進行相應的調整，以捕捉環境因素的影響。

從複雜系統的角度來看，本研究提出的模型如何幫助我們理解其他具有長記憶性的自然現象？

本研究提出的模型，特別是從其所使用的「疊加」概念出發，可以為理解其他具有長記憶性的複雜自然現象提供以下啟示：

多尺度交互作用： 長記憶性現象可能源於系統中不同時間尺度上的多重交互作用。文中模型通過疊加具有不同反轉速度（即時間尺度）的過程來實現長記憶性，這表明在其他複雜系統中，不同時間尺度上的交互作用也可能導致長記憶性。例如，在氣候系統中，大氣、海洋、冰雪圈等子系統之間存在著不同時間尺度的交互作用，這些交互作用共同導致了氣候的長記憶性。
個體行為與集體現象： 文中模型展示了如何通過疊加個體層面的隨機過程來描述集體層面的長記憶性現象。這為理解其他複雜系統中個體行為與集體現象之間的聯繫提供了思路。例如，在金融市場中，個體投資者的交易行為可以疊加起來，形成具有長記憶性的市場波動。
簡化模型的建模方法： 文中模型採用疊加方法，將複雜的長記憶性過程分解為多個相對簡單的過程的疊加。這種建模方法可以為其他複雜系統的簡化建模提供借鑒。通過將複雜系統分解為多個子系統，並分別建立子系統的模型，然後再將這些子系統的模型疊加起來，就可以得到整個系統的簡化模型。

此外，文中模型所使用的數學工具，例如矩量生成函數、廣義 Riccati 方程等，也可以為分析其他具有長記憶性的複雜系統提供參考。
總之，本研究提出的模型及其背後的「疊加」概念，為理解複雜系統中的長記憶性現象提供了一個新的視角，並為研究其他具有長記憶性的自然現象提供了有益的啟示和工具。