核心概念
本文通過對比經典力學和波姆力學框架下可積和不可積 Hénon-Heiles系統的軌跡行為,揭示了量子混沌的獨特特徵,特別是波姆軌跡在可積系統中反而更快地呈現混沌性的現象。
摘要
經典與波姆軌跡在可積與不可積系統中的比較研究
導論
本文旨在探討經典與量子 Hénon-Heiles系統,特別是比較可積和不可積 Hénon-Heiles哈密頓量的經典軌跡和量子(波姆)軌跡。
可積 Hénon-Heiles 哈密頓量
經典情況
- 研究了經典可積 Hénon-Heiles系統的軌跡不變曲線,並通過數值模擬展示了不同耦合參數下的軌跡形態。
- 發現當耦合參數超過逃逸閾值時,部分軌跡會逃逸至無窮遠處。
量子情況
- 採用直接對角化方法求解了量子 Hénon-Heiles系統的薛丁格方程,得到了系統的能量本徵值和本徵態。
- 計算了相鄰能級間距的統計分佈,發現其近似符合泊松分佈,而非通常認為的威格納分佈。
- 研究了波姆軌跡的行為,發現即使在可積系統中,波姆軌跡也呈現出混沌特性,且混沌性的出現時間與耦合參數有關。
不可積 Hénon-Heiles 哈密頓量
經典情況
- 研究了經典不可積 Hénon-Heiles系統的龐加萊截面,並通過數值模擬展示了不同耦合參數下的混沌區域和逃逸軌跡。
- 發現隨著耦合參數的增加,混沌區域逐漸擴大,逃逸軌跡增多。
量子情況
- 與可積情況類似,計算了量子不可積 Hénon-Heiles系統的能量本徵值和本徵態,並發現相鄰能級間距的統計分佈也近似符合泊松分佈。
- 研究了波姆軌跡的行為,發現其同樣呈現出混沌特性,但混沌性的出現時間比可積情況更長。
結論
- 波姆力學框架下,可積和不可積 Hénon-Heiles系統在能量本徵值分佈、能級間距統計特性以及波姆軌跡的混沌行為等方面表現出相似性。
- 與經典情況不同,波姆軌跡在可積系統中反而更快地呈現混沌性,這可能是由於量子效應和波函數節點點附近的散射效應所導致的。
- 本研究為理解量子混沌和波姆力學提供了新的思路,也為進一步研究開放量子系統中的混沌現象奠定了基礎。
統計資料
當耦合參數 ϵ = 0.35 時,經典不可積系統中混沌軌跡的比例顯著增加。
在能量 E = 1 的情況下,可積和不可積系統的平均能量都隨著耦合參數 ϵ 的增加而增加。
引述
"Bohmian Quantum Mechanics (BQM) is an alternative interpretation of QM which predicts deterministic trajectories for the quantum particles, governed by a set of a first order in time differential equations, the Bohmian equations."
"Thus while a typical Bohmian system has both ordered and chaotic trajectories as a classical Hamiltonian system, Bohmian chaos emerges in a different way than classical Hamiltonian chaos, which is produced by the overlapping of the asymptotic curves of its unstable periodic trajectories."